Stochastik Sekundarstufe 1

Mit dieser Unterrichtsreihe steigen Sie anwendungsorientiert in die Wahrscheinlich­ keitsrechnung und Statistik ein. Ihre Schüler basteln zunächst einen Farbkreisel, führen eine Reihe von Experimenten aus, die sie auswerten müssen, und erstellen dazu Balken­ diagramme. Anhand dieser Ergebnisse können Sie den Zufallsbegriff gut veranschaulichen. Im Verlauf der Einheit führen Sie Häufigkeiten und die Laplace­Wahrscheinlichkeit ein. Auch lernen die Schülerinnen und Schüler bei dieser Gelegenheit zwischen den Begriffen Ergebnis und Ereignis zu unterscheiden. Für interessierte Schüler hält der Beitrag das schwache Gesetz der großen Zahlen bereit.

• Hinweise
• M 1 Konstruktionsanleitung für regelmäßige Vielecke
• M 2/M 3 Farbkreisel/Experimente mit dem Farbkreisel
• M 4 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
• M 5/M 6 Der Zufall/Wie „ideal“ ist dein Farbkreisel?
• M 7/M 8 Das (schwache) Gesetz der großen Zahlen / Experiment „Münzwurf“
• M 9 Entbindungsstation
• M 10–M 18 Übungsaufgaben und Anwendungen
• M 19/M20 Lernerfolgskontrolle I bzw. II
• Erläuterungen und Lösungen

Die Schüler lernen:

anwendungsorientiert mit grundlegenden Begriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik umzugehen, zum Beispiel den Begriffen Ergebnis und Ereignis, Laplace-Wahrscheinlichkeit, Zufallsexperiment etc.

Spiel auspacken, Regelwerk lesen und los geht’s. Dies ist ein alltäglicher Vorgang von Jung und Alt. Doch fragt man sich nicht manchmal auch, warum ein Spiel so ist, wie es ist? Das Spiel Würfelzwerge der Schmidt Spiele GmbH besteht aus 56 Zwergenkarten. Warum? Um das herauszufinden, dürfen sich Ihre Schülerinnen und Schüler zunächst in einem Gruppenpuzzle zu einer „abgespeckten“ Variante des Problems das nötige Handwerk erarbeiten. Mittels drei verschiedener stochastischer Ansätze kann das „Würfelzwerge-Problem“ gelöst werden.

• Klassenstufe: 7/8
• Dauer: 3 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Tabelle, Baumdiagramm, Ziehen mit und ohne Zurücklegen
• Kompetenzen: mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, kommunizieren
• Methoden: Gruppenpuzzle, Gruppenarbeit

„Mmargana?“, meint Sophie. „Nein, aber wie hieß das noch mal? Ach ja, Anagramm!“, erwidert Theo. „Sag ich ja“, grinst Sophie. „Man darf die Buchstaben doch umstellen, wie man will.“

Mathematisch interessant werden Anagramme dann, wenn man sich die Buchstabenfolgen genauer anschaut: Wie viele mögliche Anordnungen (Permutationen) gibt es? Wie oft kommen die einzelnen Buchstaben vor? Ziel des Beitrags ist es, mithilfe von Anagrammen die Formeln für die Permutation ohne und mit Wiederholung kennenzulernen, sie zu verstehen und sie anwenden zu können. Die Vernetzung von Deutsch und Mathematik macht das Lernen einfacher und abwechslungsreicher.

• Klassenstufe: 7/8
• Dauer: 3 Unterrichtsstunden (Minimalplan: 2 Stunden)
• Inhalt: Permutation ohne und mit Wiederholung; Anagramme Kompetenzen: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, kommunizieren

Stürze ich mich mit einem Glücksspiel langfristig in den Ruin oder kann ich damit doch auf lange Sicht reich werden? – Hier lernen Ihre Schülerinnen und Schüler den Erwartungswert und den Begriff des fairen Spiels kennen und erfahren damit eine Größe, mit der sie diese Fragen fundiert beurteilen können!

• Klassenstufe: 9/10
• Dauer: 2–3 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Erwartungswert, faires Spiel
• Kompetenzen: mathematische Probleme lösen (K2); mathematisch modellieren (K3); mit den symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)

Anhand alltagsnaher Aufgabenstellungen lassen sich die Verknüpfung von Ereignissen mit Ereigniswahrscheinlichkeiten sowie die Berechnung des Erwartungswertes einüben. Außerdem verinnerlichen Ihre Schülerinnen und Schüler den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit. Beweise zur stochastischen Unabhängigkeit runden diese Aufgabensammlung ab.

• Inhalt: Verknüpfung von Ereignissen und Ereigniswahrscheinlichkeiten, Urnenmodelle des Ziehens ohne und Zurücklegen, Be-dingte Wahrscheinlichkeit, Stochastische Unabhängigkeit, Erwartungswert
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In diesem Beitrag wiederholen
Ihre Schüler Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung mithilfe von verschiedenen Rätseln.

• Inhalt: Rätsel zur Wahrscheinlichkeit lösen
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen

Dieser vierte Teil der Serie von Rätsel zur Stochastik für den Einsatz ab der gymnasialen Mittelstufe wiederholt Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Ein spielerische Zugang und die Möglichkeit zur Selbstkontrolle der Schüler eignet sich wunderbar zur Festigung von Erlerntem in Alleinarbeit oder einer Lerngruppe. Mit Knobelspaß begeistern Sie jeden Schüler für Ihren Mathematikunterricht und sichern nachhaltig dessen Wissen.

• Inhalt: Rätsel zur Wahrscheinlichkeit lösen
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen

Aus Grabungsfunden in China und Mesopotamien ist bekannt, dass bereits 3000 v. Chr. Glücksspiele existierten. Die Verbreitung der Glücksspiele gab zu Beginn der Neuzeit Anlass zu mathematischen Untersuchungen, zum Beispiel durch Pierre de Fermat (1605–1665), dem Vater der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Diese Aufgabensammlung umfasst unterhaltsame Rechenbeispiele zu unterschiedlichen Arten des Glücksspiels und zeigt deren unmittelbaren Bezug zur Mathematik auf.

• Inhalt: Zufallsgrößen und ihre Darstellung, Erwartungswert; Kombinatorik und Fächerbelegung; Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung; Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen; Ereignisse und Ereigniswahrscheinlichkeiten; Vierfeldertafel und Baumdiagramm mit Pfadregeln, Binomialverteilungen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Das Gebäck „Russisch Brot“ bietet sich aufgrund des Inhalts für verschiedenste Fragestellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung an. Da der Inhalt aus Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen besteht, können die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse sehr gut variiert werden. Viele Aufgaben sind so gestaltet, dass sie durch verschiedene Herangehensweisen und Lösungswegen bearbeitet werden können. Kompetenzprofil:

• Medien: GTR/CAS, GeoGebra, Excel
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Diese alltagsnahe Aufgabensammlung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung für die gymnasialen Unterstufe handelt von ein- und mehrstufigen Zufallsexperimenten mit diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Mittels ansprechender Fragestellungen wird Ihrer Klasse die Bedeutung stochastischer Methoden vor Augen geführt ohne den historischen Kontext zu vernachlässigen. Nutzen Sie diesen Beitrag sowie die enthaltene Klassenarbeit zur Prüfungsvorbereitung Ihrer Schüler.

• Aufgabenteil
• Klassenarbeit zum Thema Laplace-Experimente
• Lösungsteil
• Lösungen zur Klassenarbeit