Frage: Wie löse ich folgende Aufgaben zu
allgemeinen Sinus-
und Kosinusfunktionen ??
1) Bestimme
ohne Taschenrechner:
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a) sin ( )
??
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Um die Aufgabe zu lösen, ist ein Blick auf die Sinuskurve sehr
hilfreich. |
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![Sinuskurve](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Sinuskurve-Bogenmass.jpg)
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An der Sinuskurve können wir leicht ablesen, dass der Sinus
von =
- 1 ist.
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b) sin ( )
??
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Um die Frage zu beantworten, müssen wir uns klar machen,
dass sich die Sinuskurve alle 2 wiederholt,
d.h. sin ist
nichts anderes als sin .
Sprich sin ( ),
sin ( )
und sin ( ) ist
ebenso stets 0. |
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c) sin ( )
??
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Diese Aufgabe sieht auf den ersten Blick recht kompliziert
aus, ist sie aber nicht.
können
wir nicht mehr an der Kurve direkt ablesen, aber wir wissen,
dass sich die Sinuskurve alle 2 pi wiederholt. Also ist -
(2 pi) = .
Gemäß Tabelle M1 ist =
150°. Ein Blick auf Tabelle M2 verrät uns, dass sin 150° den
Wert 0,5 hat. |
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Winkelfunktion im Bogenmaß:
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
150° |
180° |
270° |
360° |
|
0 |
![Bogenmaß. 30 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_30.jpg) |
![Bogenmaß. 45 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_45.jpg) |
![Bogenmaß. 60 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_60.jpg) |
![Bogenmaß. 90 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_90.jpg) |
![Bogenmaß. 120 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_120.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_135.jpg) |
![Bogenmaß. 150 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_150.jpg) |
![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi2.jpg) |
![Bogenmaß. 270 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_270.jpg) |
2![Bogenmaß. 360 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi2.jpg) |
Tabelle M1
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Tabelle der besonderen Sinus Werte:
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
150° |
180° |
|
0 |
0,5 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_3-Wurzel3.jpg) |
1 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_3-Wurzel3.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg) |
0,5 |
0 |
Tabelle M2 |
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d) cos ( )
??
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Um die Aufgabe zu lösen, werfen wir wieder einen Blick
auf die Cosinuskurve: |
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Die Cosinuskurve: ![Cosinuskurve](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Cosinuskurve.jpg)
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An der Cosinus-Kurve können wir leicht ablesen, dass der
cos von =
0 ist.
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e) cos ( - 5 )
??
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cos -5 ist
wiederum gleich cos (-5 +
6 ).
Wir addieren also einfach dreimal 2 hinzu.
Also gilt cos -5 =
cos .
Dies ist -1. |
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Die Cosinuskurve im Bogenmaß: ![](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Cosinuskurve-erweitert-1.jpg)
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An der erweiterten Cosinus-Kurve können wir leicht ablesen,
dass cos ( - 5 )
= -1 ist.
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e) cos ( ![](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/cosMinus3_4.jpg) )
??
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Auch hier wenden wir den gleichen Trick an. Wir addieren
2 und
erhalten nun cos(![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/cos5_4.jpg) ) |
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Tabelle der besonderen Kosinus Werte:
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
150° |
180° |
225° |
Bogen-maß |
0 ![Bogenmaß. 30 Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Pi.jpg) |
![Bogenmaß. 30 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_30.jpg) |
![Bogenmaß. 45 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_45.jpg) |
![Bogenmaß. 60 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_60.jpg) |
![Bogenmaß. 90 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_90.jpg) |
![Bogenmaß. 120 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_120.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_135.jpg) |
![Bogenmaß. 150 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_150.jpg) |
![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi2.jpg) |
![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/cos5_4.jpg) ![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi2.jpg) |
cos( ) |
1 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_3-Wurzel3.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg) |
0,5 |
0 |
-0,5 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus-1_2-Wurzel3.jpg) |
-1 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg) |
Tabelle M3 |
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![Sinuskurve. Bogenmaß](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Cosinuskurve-Minus3-4-pi.jpg)
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An der Kosinus-Kurve können wir leicht ablesen, dass
gilt:
cos ( ![](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/cosMinus3_4.jpg) )
= ![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg)
SIN (x) und COS (x) im Überblick:
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) |
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
120° |
135° |
150° |
180° |
225° |
x im
Bogen-maß |
0 ![Bogenmaß. 30 Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Pi.jpg) |
![Bogenmaß. 30 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_30.jpg) |
![Bogenmaß. 45 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_45.jpg) |
![Bogenmaß. 60 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_60.jpg) |
![Bogenmaß. 90 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_90.jpg) |
![Bogenmaß. 120 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_120.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_135.jpg) |
![Bogenmaß. 150 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi_150.jpg) |
![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi2.jpg) |
![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/cos5_4.jpg) ![Bogenmaß. 180 Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/Pi2.jpg) |
sin(x) |
0 |
0,5 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_3-Wurzel3.jpg) |
1 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_3-Wurzel3.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg) |
0,5 |
0 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg) |
cos(x) |
1 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_3-Wurzel3.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg) |
0,5 |
0 |
-0,5 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg) |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus-1_2-Wurzel3.jpg) |
-1 |
![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg) |
Tabelle M4 |
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sin(x) = 0,5
(-> siehe Tabelle M4)
1
= 30°
2
= 150°
=
30° + k * 360° oder 150° + k * 360°
![Loesungsmenge. Sin (x) = 0,5](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Loesungsmenge-1.jpg) ![Sinuskurve. Bogenmaß und Gradmaß](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Sinus-Gradmass-Bogenmass2.jpg) |
|
sin(x) = ![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin_Cos-Tan-im-Einheitskreis/1_2-Wurzel-2.jpg)
(-> siehe Tabelle M4)
1
= 135°
2
= - 225°
![Sinuskurve. Bogenmaß und Gradmaß](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Sinus-Gradmass-Bogenmass3.jpg)
Es gilt für 0 ![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) 360° :
sin =
- sin (360° - )
Sprich wie rechnen wir??
sin 135 ° = - sin (360°-135°) = - (sin 225°) |
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sin(x) = ![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus-1_2-Wurzel3.jpg)
(-> siehe Tabelle M4)
1
= - 60°
2
= 240°
![Sinuskurve. Bogenmaß und Gradmaß](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Sinus-Gradmass-Bogenmass4.jpg)
=
-60° + k * 360° oder 300° + k* 360° oder 240° +
k * 360°
|
cos (x) = ![Bogenmaß. Sin Grad](images/Sin-Cosinus-Einheitskreis/Minus1_2-Wurzel-2.jpg)
(-> siehe Tabelle M4)
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) 1
= 135°
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) 2
= 225°
![Winkel Alpha, Sinus](images/Alpha.gif) =
135° + k * 360° oder 225° + k * 360°
|
Mathe Lernhilfen
9./10. Klasse
zu den Themen
Trigonometrie,
Algorithmen:
Mathe Lernhilfe
10. Klasse:
(Stark Verlag)
|
Algebra und Stochastik
10. Schuljahr |
|
Mathe Klassenarbeiten
9. Schuljahr, Gymn. |
|
Mathe Klassenarbeiten
9. Schuljahr, Gymn. |
|
Mathe Klassenarbeiten
10. Schuljahr, RS |
|
Mathe Klassenarbeiten
10. Schuljahr, Gymn. |
|
Mathe Klassenarbeiten
10. Schuljahr,Bayern |
(Cornelsen Verlag)
|
Besser in Mathematik
10. Schuljahr |
|
Fit in Test und Klassenarbeit
Mathematik
10. Schuljahr |
Mathe Lernhilfe
(Bange Verlag)
|
Abschlussprüfung
Mathematik RS
10. Schuljahr |
Mathe Lernhilfe
(Klett Verlag)
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KomplettTrainer
Mathematik
10. Schuljahr |
Mathe Lernhilfe
(Klett Verlag)
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Abschluss
Mathematik
10. Schuljahr |
Mathe Lernhilfe
(Schroedel Verlag)
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