I diesen Übungen und Arbeitsblättern beschäftigen sich Ihre Schüler mit der Dichtefunktion. Sie weisen beispielsweise für die gegebene Funktion nach, dass es sich tatsächlich um eine Dichtefunktion handelt und berechnen den Erwartungswert.

• Inhalt:
  • Dreiecksverteilung
  • lineare Funktion
  • Stammfunktion
  • Integral
  • Flächeninhalt von Dreieck und Trapez
  • Erwartungswert
• Medien: evtl. zur Veranschaulichung Euklid DynaGeo oder GeoGebra
• *Kompetenzen: *
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In der Unterrichtseinheit finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Jugendlichen diskutieren gebrochen-rationale, zusammengesetzte Logarithmus- und Exponentialfunktionsscharen, wenden Different-iations- und Integrationsregeln an, unterscheiden Integral- von Stammfunktionen und berechnen Flächeninhalte.

Die Schüler lernen:

ihr Wissen und Können in abiturrelevanten Aufgaben anzuwenden. Mit den Materialien können die Jugendlichen ihre Fähigkeiten unter Zeitvorgaben testen, das fördert insbesondere auch ihr Zeitmanagement.

Der Beitrag betrachtet eine Weihnachtsdekoration mit den Methoden der Analysis oder der analytischen Geometrie. Ein fünfzackiger Weihnachtsstern entspricht einem Zehneck, bei dem fünf Ecken nach außen und fünf nach innen gerichtet sind. Wird mittels einer Schraubverbindung ein weiterer fünfzackiger Stern hinzugefügt, lassen sich die beiden in einem bestimmten Winkel zueinander drehen und aufstellen.

Die Schüler bestimmen die Eckpunkte der Zehnecke und übertragen sie ins räumliche Koordinatensystem. Untersucht wird weiterhin, ob eine LED-Kerze unter die stehende Figur passt und wenn ja, wie groß der Abstand des Randes der Kerze zum Stern ist.

Die Schüler lernen:

mithilfe der Beziehung m = tan(a) zwischen der Steigung m einer Geraden und dem Schnittwinkel a der Geraden mit der x-Achse das Aufstellen der Punkt-Steigungsform bzw. der Punkt-Richtungsform einer Geradengleichung. Sie bestimmen den Schnittpunkt zweier Geraden bzw. den Schnittpunkt von Geraden und Kreis mithilfe des Einsetzungs-verfahrens. Die Lernenden übertragen ebene Koordinaten in ein räumliches Koordinatensystem und überprüfen, ob eine zylinderförmige Kerze unter den Leuchtstern passt bzw. wenn dies der Fall ist, wie groß der Abstand des oberen Randes zum Stern ist.

Extremwertprobleme, also die Bestimmung lokaler Minima oder Maxima, sind ein wesentlicher Baustein bei der Behandlung der Differentialrechnung, vor allem im Rahmen der innermathematischen Problematik „Kurvendiskussion“.

Wichtiger und reizvoller ist für Schülerinnen und Schüler aber die Anwendung dieser Kenntnisse und Fertigkeiten auf Alltagsprobleme. Selbstgesteuerte Lernformen wie z. B. Probieren, Vermuten, Vergleichen und Präsentieren sind besonders motivierend für die Lernenden. Ergebnisse selbst zu ermitteln und anschließend durch Verallgemeinerung zu bestätigen, ist didaktisch sinnvoll für den Wissenserwerb und die Verinnerlichung der erworbenen Kenntnisse.

Die Schüler lernen:

Durch die Bearbeitung realer, praxisnaher Aufgabenstellungen wird den Schülerinnen und Schülern bewusst, dass mathematisches Wissen und Können keinem Selbstzweck dienen. Sie erfahren, dass sie im Alltag auftretende Probleme durch mathematisches Modellieren zielgerichtet und erfolgreich bearbeiten, und dabei auch verschiedene Lösungswege nutzen können.

Die Lernenden erkennen, dass mathematisch-konstruktive Darstellungen das Finden eines Lösungsansatzes erleichtern und beim Abarbeiten des Lösungsweges helfen. Die Schülerinnen und Schüler üben und vervollkommnen ihre Fähigkeit, mathematisch zu kommunizieren und entsprechend zu argumentieren.

Die Unterrichtseinheit enthält eine Sammlung von Aufgaben, die sich mit Parabeln beschäftigen. Zur Durchführung von Kurvendiskussionen sowie der Berechnung von Flächen und Volumina wenden die Schüler dabei ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung an. Zur Berechnung von Schnittwinkeln kommen auch Winkelfunktionen zum Einsatz.

Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung an, um Kurvendiskussionen von Parabeln durchzuführen sowie Flächen und Volumina zu berechnen. Auch Schnittpunkte von Kurven wie auch die Schnittwinkel sind zu bestimmen.

Mit Hilfe mehrerer Übungsaufgaben wird das Wissen vertieft und gefestigt.

In diesem Beitrag prüfen Ihre Schüler ihr mathematisches Wissen. Sie untersuchen eine ganzrationale Funktion hinsichtlich Symmetrie und Extrempunkte. Darüber hinaus führen sie Berechnungen zu Schnittpunkten und Integralen durch.

• Inhalt: Diskussion einer ganzrationalen Funktion
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

In diesem Beitrag lernen die Schüler zunächst verkettete Funktionen und damit auch die Kettenregel der Differenzialrechnung neu kennen. Anschließend wiederholen sie zum Einstieg in die Integralrechnung Integrale von elementaren Funktionen. Danach erarbeiten sich die Lernenden durch zielgerichtete Aufgaben Integrationsformeln für spezielle (zusammengesetzte) Funktionen. Diese Formeln, sowie die partielle Integration wenden sie schließlich an komplexeren Integralen an. Als Hilfestellung dazu enthält der Beitrag eine kleine Formelsammlung spezieller Integrationen sowie Beschreibungen von bewährten Methoden der partiellen Integration.

• Einordnung und Hinweise
• Verkettung von Funktionen
• Ableitung und Stammfunktion elementarer Funktionen
• Integration bei speziellen Verkettungen
• Partielle Integration

• Inhalt: Verkettung von Funktionen, differenzieren, integrieren, Stammfunktion, unbestimmtes Integral, Potenzregel, Produktregel, Kettenregel, lineare Substitution, logarithmische Integration, partielle Integration
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5),

Exponentialfunktionen sind in der Unterrichtseinheit Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen.

• Inhalt:* Exponentialfunktion, Nullstelle, Ableitungsfunktion, lokale Extrema, Wendepunkt, Stammfunktion, partielle Integration, Flächenberechnung, graphische Darstellung, Wendetangente, Schnittpunkt, Dreieck (Fläche; Innenwinkel), Kegel (Volumen, Oberfläche), Rekonstruktion von Funktionsgleichungen, Gleichungssystem
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mathematisch kommunizieren

Die Schüler lernen ihr Können und Wissen über Ableitungs- und Integralfunktionen sowie Gleichungssysteme in einem konkreten, realitätsnahen Beispiel anzuwenden, und bewerten ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang.

Die Dürre hatte die vergangenen Jahre viele Teile Europas fest im Griff. Sie lässt die Pflanzenwelt verkümmern, senkt den Grundwasserspiegel und den Wasserstand von Flüssen und Stauseen. Dadurch produzieren auch Wasserkraftwerke weniger „grünen“ Strom. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler innerhalb dieses aktuellen Themas die Auswirkungen auf den Füllstand einer Talsperre.

• Methodisch-didaktische Hinweise
• Aufgaben
• Lösungen

Wie viele Menschen infizieren sich wöchentlich durchschnittlich mit dem Corona-Virus? Dies ist nicht nur für die Johns-Hopkins-Universität interessant, sondern stellt eine aktuelle Anwendung des Mittelwerts von Funktionen dar.

Vom Begriff des arithmetischen Mittels ausgehend erarbeiten sich die Lernenden in diesem Beitrag den Mittelwert von Funktionswerten. Dies führt sie schließlich zum Mittelwertsatz der Integralrechnung, dessen Beweis sie ebenfalls kennenlernen. Als Ausblick verweist der Beitrag auf den verwandten Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Die vorgestellten Begriffe vertiefen Ihre Schülerinnen und Schüler an einigen Aufgaben und zur Lernzielkontrolle finden Sie am Ende des Beitrags eine Klausur.

• Hinweise
• M 1 Mittelwert auf Intervall – Theorie
• M 2 Aufgaben
• M 3 Sind Sie fit? – Testen Sie Ihr Wissen! 1
• Lösungen

Die Schüler lernen den Mittelwert von Funktionen, den Mittelwertsatz der Integral- und Differenzialrechnung an konkreten Beispielen kennen und festigen ihr neues Wissen mithilfe von realitätsnahen Aufgaben. Besonders interessierte Lernende erarbeiten sich den Beweis des Mittelwertsatzes der Integralrechnung.

Die Schüler lernen Ortskurven kennen, die sie algebraisch sowie geometrisch aufstellen. Sie erarbeiten sich die Bedienung einer dynamischen Geometriesoftware, wodurch sie die Aufgaben lösen und überprüfen können.

Beim Parkett verlegen geht es um jeden Millimeter. Besonders verwinkelte Räume und komplizierte Muster stellen eine Herausforderung dar. Bei einer strahlenförmigen Verlegung bilden sich ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Wie sich ihr Flächeninhalt verändert, untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag. Insbesondere erarbeiten sie sich zum Lösen und Überprüfen der Aufgaben den Umgang mit einer dynamischen Geometriesoftware.

• Methodisch-didaktische Hinweise
• Aufgaben
• Lösungen

Stromtarife lassen sich durch eine ganzrationale Funktion modellieren. In diesem Beitrag geht es um Übungen im Bereich der ganzrationalen Funktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests unter Beweis zu stellen und ihr Zeitmanagement zu fördern.

• M 1 Maximalflächen – Test 1
• M 2 Funktionenscharen – Test 2
• M 3 Kurven und Schnittpunkte – Test 3
• M 4 Integralfunktionen – Test 4
• Lösungen

In diesem Beitrag entdecken Ihre Schüler den Unterschied zwischen der absoluten und der relativen Häufigkeit. Sie führen Zufallsexperimente mit Würfeln durch um diese zu bestimmen. Außerdem lernen Sie den Begriff der Wahrscheinlichkeit mit den entsprechenden Eigenschaften kennen und wenden das gelernte Wissen in abgestimmten Aufgaben an.

• Inhalt: heuristische Zugangsweise zu den Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
• Medien: Würfel, Münzen, Tetraeder, Oktaeder, Urne mit Kugeln, Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Elementare geometrische Körper wie Quader geben immer wieder Anlass für die Formulierung von Mathematikaufgaben unterschiedlichsten Niveaus – damals wie heute. In diesem Beitrag reisen Ihre Schülerinnen und Schüler gedanklich zurück ins Jahr 1968 und bearbeiten eine Abituraufgabe aus dieser Zeit. Wie damals üblich lösen die Lernenden die Aufgabe ohne digitale Hilfsmittel. Diese scheinbar „alte“ Aufgabe wird anschließend durch verschiedene Aufgabenstellungen ergänzt, die aber mehr den heutigen Ansprüchen hinsichtlich der Kompetenzentwicklung und der Verwendung digitaler Hilfsmittel entsprechen und Gelegenheit zum differenzierten Arbeiten bieten.

• Hinweise
• M 1 Originalaufgabe
• M 2 Dreiecke im Quader
• M 3 Quader, Tetraeder und Dreiecke
• M 4 Quader und Ebene
• M 5 Quader und Extrema
• M 6 Lernerfolgskontrolle
• Lösungen

• geometrische Sachverhalte im Raum zu modellieren,
• elementare Operationen mit geometrischen Vektoren auszuführen,
• das Skalarprodukt und das Vektorprodukt anzuwenden,
• Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anzuwenden,
• Geraden und Ebenen analytisch zu beschreiben und die Lagebeziehungen von Geraden zu untersuchen,
• Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen zu untersuchen.

In dieser Unterrichtseinheit testen die Jugendlichen ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie und prüfen, ob sie bereits fit für das schriftliche Abitur sind. Sechs Testklausuren mit Bearbeitungszeitvorgabe dienen Ihnen als Lernerfolgskontrolle oder den Schülerinnen und Schülern als Selbsttest.

Die Schüler lernen:

ihre Fähigkeiten im Bereich analytische Geometrie an abiturrelevanten Aufgaben einzusetzen und zu prüfen. Durch verschiedene Lösungswege erkennen Sie, dass es oft eine vorteilhaftere, effektive bzw. rechenarme Möglichkeit gibt.

Vn den Übungsklausuren lernen die Schülerinnen und Schüler ihr bereits vorhandenes Wissen über Geradengleichungen und Lagebeziehungen von Gerade zu Gerade sowie Abstandsberechnungen von Geraden anzuwenden.

Die Aufgaben unterscheiden sich von den üblichen Aufgaben zu diesem Themengebiet dadurch, dass sie in einen schlüssigen Anwendungskontext eingebettet sind. Das motiviert vielleicht auch den einen oder anderen Schüler, für den Geradengleichungen und Lagebeziehungen sonst nur „graue Theorie“ sind. Eine Binnendifferenzierung können Sie durch verschiedene Lösungsvarianten der Aufgaben ermöglichen.

Die Lösungen sind ausführlich gehalten, sodass sich das Material zum Selbststudium eignet.

Drei Flugzeuge sind auf unterschiedlichen Routen unterwegs. Damit sie nicht im Luftraum kollidieren, müssen die Flugzeuge bestimmte Sicherheitsabstände als Minimum einhalten. Daher überprüfen Flugsicherungseinrichtungen diese Abstände ständig. In diesem Beitrag berechnen Ihre Schüler unter anderem diese Abstände mit den Mitteln der analytischen Geometrie. Sie wiederholen darüber hinaus die Themen Geradengleichungen und Lagebeziehungen von Gerade zu Gerade in diesem spannenden Kontext.

• Hinweise (Informationen und Modellierung)
• Aufgaben
• Lösungen

En Hobbyschmied möchte in seiner Heimwerkstatt in einer Mauerecke über einer Schmiedebank eine Abzugshaube anbringen. Bei dieser praktischen Anwendungsaufgabe bestimmen die Lernenden Abstände, Schnittmengen, Schnittwinkel sowie Flächeninhalte und Volumina elementargeometrisch und mithilfe der Vektorrechnung.

• Ihr bereits vorhandenes Wissen über Vektoren, Geraden- und Ebenengleichungen, Abstands- und Schnittwinkelberechnungen zwischen Ebenen sicher anzuwenden. Mithilfe der Vektorrechnung nehmen sie Flächen- und Volumenberechnungen vor.
• Eine Binnendifferenzierung wird durch Teillösungen sowie verschiedene Lösungsvarianten der Aufgaben ermöglicht.

Nehmen wir einmal an, die Eiskugeln schmelzen. Dann ist die kegelförmige Eistüte mit Wasser gefüllt. Oder konkreter: Was passiert mit dem Wasserspiegel, wenn man die Inkugel aus einem auf der Spitze stehenden, vollständig mit Wasser gefüllten Kegel entfernt? Versucht man dieses oder ähnliche Probleme zu lösen, sind verschiedene Teilgebiete der Mathematik hilfreich. So können beispielsweise Kenntnisse aus elementarer Geometrie, analytischer Geometrie oder der Analysis hier vernetzt werden.

• Mathematische Modelle für ein reales Problem aufzustellen,
• überschaubare mehrschrittige Argumentationen und logische Schlüsse zu entwickeln,
• Strategien zur Lösung eines komplexeren Problems anzuwenden,
• verschiedene Lösungswege zu beurteilen,
• digitale Mathematikwerkzeuge auszuwählen.

In diesem Beitrag stellen Ihre Schülerinnen und Schüler Berechnungen zu Schlägerhaltungen, Ballpositionen und Flugbahnen des Balls an. Dabei trainieren sie das Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen sowie das Lösen von Gleichungssystemen.

Diese Aufgabe ist fern jeder Realität, aber vielleicht eine Aufgabe, die zu interessanten mathematischen Überlegungen motiviert.

Es geht um Tischtennis, also um eine Sportart mit ausgesprochen schnellen Bewegungen, Reaktionen und Bewegungsabläufen von Spielern und Ball. Dabei wird niemand auch nur ansatzweise auf die Idee kommen, während eines solchen Spiels Berechnungen zu Schlägerhaltung, Ballposition oder gar der Flugbahn des Balls anzustellen.

Und dennoch soll diese Aufgabe Anregung für Unterrichts-, Zirkel- und/oder Projektarbeit mathematikinteressierter Schülerinnen und Schüler sein, die analytische Geometrie auch einmal unter dem Blickwinkel einer Ballsportart zu betrachten.

• einfallende Bewegungsrichtung, Einfallslot und reflektierte Bewegungsrichtung liegen in einer Ebene
• einfallende Bewegungsrichtung und reflektierte Bewegungsrichtung bilden mit dem Einfallslot gleiche Winkel = Reflektionswinkel Da es sich bei dem Tischtennisball, der Tischtennisplatte und dem Tischtennisschläger (abgesehen von dem dünnen elastischen Belag des Holzschlägers-Kork oder Gummi) um annähernd starre Gebilde handelt, können diese Voraussetzungen vereinfachend als gegeben angesehen werden.

Mutterländer dieses Spiels sind Japan und China, 1880 wurde Tischtennis in England bekannt und verbreitete sich von dort über Europa.

Der Ball ist aus Zelluloid; die Platte aus Sperrholz (274,3 cm x 152,5 cm); die Netzhöhe 15,25 cm.

• Inhalt: Geradengleichung, Ebenengleichung, Gleichungssystem, Normalenvektor, Spiegelung, Betrag eines Vektors, Skalarprodukt, Durchstoßpunkt, Punktkontrolle, räumliches Koordinatensystem
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5)

Die Schüler werden mit einer sauberen Beweisführung (Skizze, Voraussetzungen, Behauptung und Beweisschritten) vertraut gemacht. Sie beweisen dadurch elementargeometrische Eigenschaften von verschiedenen Vierecken mithilfe von einfacher Vektorrechnung. Der Beitrag beinhaltet zudem eine kleine, auf den Beitrag abgestimmte Formelsammlung.

• Inhalt: Elementargeometrie, orthogonal, Fußpunkt, Skalarprodukt, Viereck, Trapez, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Diagonalen, Mittelpunkt, Innenwinkel, Parameterform (Gerade), Mittellinie, Mittenviereck, Voraussetzung, Behauptung, Beweis
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematisch modellieren (K 3), mathematische Darstellungen verwenden (K  4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

In diesem Beitrag trainieren Ihre Schüler unter anderem das Aufstellen von Geradengleichungen, das Anwenden der

Hesse-Form zur Abstandsbestimmung eines Punktes zu einer Ebene und das Berechnen des Pyramidenvolumens.

• Inhalt:* Ebenen und ihre gegenseitige Lage; Kugeln, Tangenten und Tangentialebenen; Pyramidenvolumen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

Was sind Ebenen in der analytischen Geometrie? Wie definiert man sie und welche Informationen reichen aus, um sie eindeutig bestimmen zu können? Diese und weitere Fragen über mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen oder einer Ebene und Gerade behandelt dieser Beitrag ausführlich in Theorie und Praxis. Durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben entwickeln die Lernenden ein tiefes Verständnis für die Parameterform der Ebene und Gerade.

• Inhalt: Umgang mit Ebenengleichungen in Parameterform
• Medien: Taschenrechner, CAS-Rechner
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematisch kommunizieren

In den Übungen lernen die Schülerinnen und Schüler ihr bereits vorhandenes Wissen über Vektoren, Geraden- und Ebenengleichungen, Abstandsberechnungen und Berechnung von Schnittwinkel zwischen Ebenen an einem praktischen Beispiel anzuwenden. Die Lösungen sind ausführlich gehalten, sodass sich die Materialien zum Selbststudium eignen.

An einer Hauswand ist über der Eingangstür ein Vordach, ähnlich dem obigen Foto, angebracht. Das Kantengerüst des Vordachs ist aus Stahlrohren und die Abdeckung aus Acrylglas gefertigt. Bei dieser praktischen Anwendungsaufgabe bestimmen die Lernenden Abstände, Schnittmengen, Schnittwinkel sowie Flächeninhalte elementargeometrisch und mithilfe der Vektorrechnung. Eine Binnendifferenzierung können Sie durch Teillösungen sowie verschiedene Lösungsvarianten der Aufgaben ermöglichen.

• Informationen und Modellierung
• Aufgaben
• Lösungen

Viele Erscheinungen unserer Wirklichkeit lassen sich nicht rein kausal erklären, sondern sind auch vom Zufall bestimmt. Für ihre Beschreibung und Beurteilung stellen die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die mathematische Statistik geeignete Modelle und Verfahren bereit.

In dieser Aufgabensammlung wird demonstriert, dass sich die Stochastik mühelos in Verbindung mit der Geometrie und der Analysis setzen lässt.

• Inhalt:* Zahlenebene, Gleichseitiges Dreieck, Berechnung von Flächeninhalten, Relative Wahrscheinlichkeit, Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit, Geraden und Ebenen, Exponentialfunktion, Prozentrechnen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen , Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In der heutigen Welt ist die Statistik kaum mehr aus einem Bereich wegzudenken. Ob in der Wirtschaft, zum Beispiel bei Legebetrieben oder Industrieabfüllanlagen oder auch im Gesundheitswesen bei der Prognose von Geburtskennzahlen. Besonders die Normalverteilung, mit ihrem bekannten Graphen der sog. Gaußschen Glockenkurve, taucht dabei immer wieder auf. Die Schüler werden in diesem Beitrag sanft von der Binomialverteilung zur Normalverteilung geführt. Sie lernen in realitätsbezogenen Aufgaben die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Verteilungen kennen und üben den Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR).

• Methodisch-didaktische Hinweise
• Theorie
• Aufgaben
• Lösungen

• Inhalt: Von der kumulierten Binomialverteilung zur Normalverteilung, diskrete und stetige Zufallsgrößen, Einfluss von Erwartungswert und Standardabweichung auf die Glockenkurve, Eigenschaften der Normalverteilung, Normalverteilungen im Kontext, Experimente mit Zufallszahlen.
• Medien: GTR.
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen.

Der abiturvorbereitende Oberstufenbeitrag handelt vom aktuellen Themenkomplex der Grippe und der Coronavirus-Erkrankung COVID-19. Mittels besonders motivierender Aufgabenstellungen vertiefen Ihre Schüler Kernthemen des Lehrplans wie die Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten, die Verwendung des Baumdiagramms, der Vierfeldertafel und das Testen von Hypothesen. Mit anwendungsorientierten Fragestellungen begeistern Sie Ihre Klasse für die weitreichenden Konzepte der Stochastik (absolut relevant für das Abitur!).

• Inhalt: Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Ereigniswahrscheinlichkeiten; Bernoulli-Kette und Binomialverteilung; Testen von Hypothesen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Aufgabensammlung handelt von den elementaren trigonometrischen Funktionen und weiteren Abbildungen mit periodischen Eigenschaften. Eigenständig oder in Gruppenarbeit vertiefen die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Verständnis. Dabei verbinden sie verschiedene Teildisziplinen der gymnasialen Oberstufe zu einem Ganzen. Mit herausfordernden Fragestellungen schaffen Sie ein fundiertes Verständnis für das weitrechende Thema der periodischen Funktionen.

• Inhalt: Sinus, Cosinus, Periode, Lösungsmenge, Funktionsgleichung, Ableitung, Nullstellensuche, Symmetrie, Grenzwert
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Dieser Oberstufenbeitrag beinhaltet zwei Problemstellungen, welche Extremwertprobleme mit anschaulichen Geometrien verbinden. Sie vertiefen das Wissen Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Differentialrechnung mithilfe von lebensnahen Rechenbeispielen.

Bereiten Sie Ihre Klasse mit angewandten Fragestellungen ideal auf die Abiturprüfung vor.

• Inhalt: Flächeninhalt, Geometrische Formen, Erste und Zweite Ableitung, Extremwertprobleme
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden

Diese Unterrichtseinheit dient dem Training der Differenzial- und Integralrechnung in motivierenden Einkleidungen. Behandelt werden verschiedene Funktionsklassen von ganzrationalen Funktionen bis hin zu Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen. Neben wichtigen Ableitungsregeln wie Produkt- und Kettenregel widmet sich der Beitrag u. a. der Wiederholung und Vertiefung verschiedener Integrationsverfahren wie der partiellen Integration und der Integration mittels Substitution.

• Methodisch-didaktische Hinweise
• Lernvoraussetzungen
• Wiederholung und Vertiefung
• Aufgaben
• Lösungen

• Inhalt: ganzrationale, trigonometrische und logarithmische Funktionen; Differenzieren; Integrieren; Stammfunktion; Bestimmtes und unbestimmtes Integral; Partielle Integration; Integration mittels Substitution; Logarithmische Integration; partielle Integration; Volumen von Rotationskörpern
• Medien: CAS
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematisch kommunizieren

Die Unterrichtseinheit enthält Lernerfolgskontrollen im Bereich der Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests zu prüfen.

• M 1 Zwei Funktionenscharen – Test 1
• M 2 Eine bemerkenswerte Funktionenschar – Test 2
• M 3 Umkehrfunktion – Test 3
• M 4 Fläche und Wachstum – Test 4
• M 5 Definitionslücke – Test 5
• Lösungen zu den Tests

In der Unterrichtseinheit finden Sie zahlreiche Aufgaben, die Sie im Unterricht zum Thema Binomialverteilung verwenden können.

Beginnend bei absoluten und relativen Häufigkeiten und über Wahrscheinlichkeiten führen die Aufgaben langsam an das Thema Verteilung heran. Ihre Schülerinnen und Schüler lernen sicher mit der Binomialverteilung und ihren Kennzahlen wie dem Erwartungswert, Varianz und der Standardabweichung umzugehen.

• Aufbau und Unterrichtsplanung, Einleitung
• Häufigkeit – Wahrscheinlichkeit – Verteilung
• Binomialverteilung – Grundlegendes
• Binomialverteilung in Anwendungsaufgaben
• Erwartungswert – Varianz – s-Umgebung
• Lösungen

Die Schüler lernen:

zunächst mit den Begriffen „relative Häufigkeit“, „Histogramm“ sowie „Verteilung“ und „Wahrscheinlichkeit“ umzugehen, ohne sich dabei auf eine bestimmte Verteilung festzulegen. Anschließend lenken sie ihren Blick auf die Binomialverteilung. Um diese anwenden zu können, üben die Lernenden zuerst die Rechenregeln ein. Sie ermitteln die Wahrscheinlichkeitswerte mithilfe der Stochastik-Tabellen sowie mit dem Taschenrechner. Die Jugendlichen lernen anschließend den Unterschied zwischen den Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“, „mehr als“, „weniger als“ kennen. Schließlich wenden sie die Binomialverteilung in Textaufgaben an, was eine weitere Herausforderung darstellt, da sie zusätzlich noch die Angaben des Textes in eine mathematische Form bringen müssen. Zum Schluss erarbeiten sich die Lernenden noch die zentralen Begriffe „Erwartungswert“, „Varianz“ und „Standardabweichung“ sowie die s-Umgebung.

Wirft man eine „ideale“ Münze n-mal und betrachtet das Ergebnis „Wappen“ als Treffer, so geht man davon aus, dass die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist. Trotzdem wird es in einer konkreten Stichprobe des Umfangs n häufig passieren, dass nicht genau die Hälfte der Ergebnisse „Wappen“ lautet. Vielmehr wird man erwarten dürfen, dass die Anzahl der Treffer zufallsbedingt in einem Intervall um den Erwartungswert liegt. Im Mathematikunterricht der Oberstufe lassen sich solche Prognoseintervalle im Zusammenhang mit den Sigma-Regeln der Binomialverteilung quantitativ berechnen und inhaltlich interpretieren. Sie bieten einen sehr guten Zugang zur Betrachtung von Konfidenzintervallen.

• M 1 Die Sigma-Regeln der Binomialverteilung
• M 2 Hypergeometrische Verteilung/Binomialverteilung
• M 3 Prognoseintervalle für absolute Häufigkeiten
• M 4 Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten
• Lösungen

• die Sigma-Regeln für binomialverteilte Zufallsgrößen anzuwenden,
• Prognoseintervalle für absolute und relative Häufigkeiten bei Stichproben binomial-verteilter Zufallsgrößen zu berechnen und zu interpretieren,
• die Begriffe „signifikante Abweichung“ und „statistische Verträglichkeit“ sachgerecht zu verwenden,
• die Möglichkeit der Näherung hypergeometrisch verteilter Zufallsgrößen durch binomialverteilte Zufallsgrößen kennen und anzuwenden,
• die Möglichkeiten des CAS-Rechners zur Berechnung und Visualisierung von Prognoseintervallen auszunutzen.

Zum Einstieg in diese Unterrichtseinheit kann ein Ausschnitt aus einem James-Bond-Film gezeigt werden. Im weiteren Verlauf werden zusätzliche Filmausschnitte analysiert. Diese Möglichkeit hat man im Mathematikunterricht nicht oft. Die Schüler erarbeiten die Regeln für das Glücksspiel Baccara (Variante „chemin de fer“). Sie berechnen Wahrscheinlichkeiten für ausgewählte Ereignisse.

Die Schüler lernen:

Die Schüler erarbeiten die Regeln für das Glücksspiel Baccara (Variante „chemin de fer“). Sie berechnen Wahrscheinlichkeiten für ausgewählte Ereignisse. Dabei trainieren sie den Umgang mit Begriffen wie „Zufallsgröße“, „Kombination“ und „bedingte Wahrscheinlichkeit“. Sie wenden die Pfadregeln an und addieren Wahrscheinlichkeiten.

• Inhalt: Zufallsgröße, Kombinationen, bedingte Wahrscheinlichkeit, Pfadregel, Addition Wahrscheinlichkeiten
• Medien: Filmausschnitte, Tabellenkalkulation
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Unterrichtseinheit behandelt die sogenannten statistischen Lagemaße: Mittelwert, Median und die Quartile. In statistischen Erhebungen wie etwa Befragungen erlauben diese Maße eine gute erste Beurteilung der Verteilung der Daten. Ihre Schüler lernen mit den hier zusammengestellten Aufgaben anhand von kurzen und einfachen Datenreihen die Begriffe kennen und üben ihre Ermittlung ein.

Außerdem sind erste Anwendungen beispielhaft enthalten. Schließlich finden sich etwas schwierigere Aufgaben, die vor allem den Unterschied von Mittelwert und Median anschaulich verdeutlichen.

Die Schüler lernen:

Während wohl alle Schüler den Mittelwert bereits praktisch kennen (Notendurchschnitt bei einer Klassenarbeit etwa), sind Median und Quartile bisher unbekannte Konzepte. Sie haben allerdings wesentlich mehr Aussagekraft über die Verteilung der Daten, da sie diese sozusagen in vier gleich große „Häppchen“ aufteilen: Der Median teilt die Daten in zwei Hälften, und diese beiden Hälften werden jeweils noch einmal „in der Mitte geteilt“ durch die Quartile. So bekommt man schnell einen guten Blick darauf, bei welchen Werten sich die gesamten Daten mengenmäßig aufteilen lassen mittels der 25 %, der 50 % und der 75 %-Grenze.

• Inhalt: Mittelwert und Median, unteres und oberes Quartil
• Medien: GTR
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren