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Oberstufe |
 Lernzielkontrollen/Leistungsüberprüfungen - Mathe Tests Sek. 1 / Oberstufe |
| Themenbereich Analysis (Oberstufe): |
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Stationenlernen Analysis: Graphisches Ableiten (Raabe Fachverlag)
In Stationenarbeit Zusammenhänge erkunden Mathe Stationenlernen/Lernzirkel 11.-12. Schuljahr 38 Seiten (4,7 MB) Bei der Kurvenuntersuchung liefern die drei Ableitungen einer Funktion Kriterien für notwendige und hinreichende Bedingungen zum Bestimmen markanter Punkte des Funktionsgraphen (Hoch-, Tief-, Wende- und Sattelpunkt) und werden zur Verlaufsbestimmung des Graphen (Monotonie, Krümmungsverhalten) angewendet. Somit kann grob der Verlauf einer Funktion gezeichnet werden. Den Schwerpunkt dieser Unterrichtseinheit bildet das graphische Differenzieren. Lassen Sie Ihre Klasse Erkenntnisse sowohl im Plenum als auch in Einzelarbeit, Partnerarbeit und Gruppenarbeit erarbeiten und in Stationenarbeit vertieft üben. KOMPETENZPROFIL:
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Modell- und Prognosefunktionen (Raabe Fachverlag)
Pharmakokinetik von THC (Cannabis) Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 35 Seiten (1,4 MB) Cannabis, Marihuana, Weed, Pot, Dope oder einfach Gras. Es gibt viele Bezeichnungen für eine Droge, die polarisiert und gleichzeitig viele junge Erwachsene anspricht. Sachliche, neutrale und wissenschaftlich fundierte Informationen über Cannabis sind gerade im Zuge der Legalisierung so wichtig wie nie. Die Pharmakokinetik, also die Beschreibung der Prozesse, die das Betäubungs- und Arzneimittel im Körper durchläuft, bietet zudem interessante mathematische Einblicke und ermöglicht den Schülerinnen und Schülern, ihr Wissen aus der Analysis anzuwenden. KOMPETENZPROFIL:
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Parameterbestimmung bei einer ganzrationalen Funktionenschar (Raabe Fachverlag)
Extremalwertaufgaben ganz leicht lösen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 25 Seiten (1,0 MB) In der Unterrichtseinheit Material bestimmen die Jugendlichen charakteristische Punkte bzw. Eigenschaften einer Funktionenschar. Abhängig vom Parameter stellen sie die Gleichung der Wendetangente auf und betrachten die Dreiecksfläche, die die Wendetangente mit den Koordinatenachsen einschließt. Bei dem Parameter der Funktionenschar müssen sie hierbei Fallunterscheidungen durchführen bzw. überprüfen, ob der Parameter die gewünschten Bedingungen erfüllt. Bei einer Funktion der Funktionenschar werden Transformationen durchgeführt und die Lernenden bestimmen den neuen Funktionsterm. Anhand dieser neuen Funktionen lösen die Schülerinnen und Schüler Extremalwertaufgaben. >>Lesen Sie mehr auf der Anbieterseite ...<<
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Wachstum, Zerfall und zeitliche Veränderung (Raabe Fachverlag)
Anwendungen der Exponentialfunktion Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 21 Seiten (0,3 MB) Ob das Wachstum von Bakterienkulturen oder der Zerfall von radioaktiven Substanzen, mathematisch lassen sich solche Prozesse häufig mithilfe von Exponentialfunktionen beschreiben. Nach einer kurzen Einleitung und Wiederholung der wichtigsten Eigenschaften dieser Art von Funktionen lösen Ihre Schülerinnen und Schüler eine Reihe von Textaufgaben, in denen zeitliche Veränderungen mittels Exponentialfunktionen beschrieben werden. Dabei sind nicht nur ihre mathematischen Fähigkeiten gefordert, die Jugendlichen trainieren auch das Verstehen von beschreibenden Texten und das Übersetzen in die Sprache der Mathematik. Inhaltsverzeichnis:
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Bevölkerungszahlen und Geldautomaten (Raabe Fachverlag)
Modellierung mit ganzrationalen Funktionen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 29 Seiten (1,7 MB) Dass die Modellierung von Daten überaus wichtig ist, kennen die Schülerinnen und Schüler z. B. im Zusammenhang mit dem Temperaturanstieg oder dem Anstieg der Weltbevölkerung. Anhand vorhandener Zahlen berechnen die Lernenden mit den Modellen auch prognostizierte Daten. Im Mittelpunkt mehrerer Übungsaufgaben steht zum einen die Modellierung und der Vergleich der Bevölkerungsentwicklung in China und Indien, zum anderen die Entwicklung der Anzahl der Geldautomaten in Deutschland. Die Schülerinnen und Schüler benutzen im ersten Fall die bekannten Bevölkerungszahlen der Jahre 1950 bis 2022 zum Aufstellen ganzrationaler Funktionen und überprüfen, ob diese mit den vorhandenen Prognosedaten übereinstimmen. Zudem untersuchen Sie mithilfe von Trendfunktionen mit den Methoden der Analysis das Wachstum der Bevölkerung in Indien und China. Fast alle Schülerinnen und Schüler haben schon einmal einen Geldautomaten benutzt. In mehreren Beispielen stellen die Lernenden die Anzahl der Geldautomaten in der Zeit von 2000 bis 2022 grafisch in einem Boxplotdiagramm dar und untersuchen mit den Methoden der Analysis die Entwicklung der Anzahl. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Die Entdeckung der eulerschen Zahl (Raabe Fachverlag)
Eine selbstgesteuerte Herleitung im Unterricht Mathe Arbeitsblätter 10.-12. Schuljahr 21 Seiten (3,0 MB) Woher stammt die Zahl e? Eine dreistündige Unterrichtseinheit zur Herleitung der eulerschen Zahl und zu Anwendung der e-Funktion. Mathematik betreiben, ist mehr als rechnerisches Kalkül. Dass die Mathematik über das bloße Anwenden und Ausrechnen auch Argumentieren bedeutet, rückt immer wieder in den Hintergrund. Oftmals stehen Rechenverfahren und deren Anwendung zu sehr im Vordergrund. In diesem Beitrag wird das Verständnis der Herleitung der Zahl e, das damit verbundene Erkenntnisinteresse der Einführung der eulerschen Zahl in die Mathematik und die besonderen Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten in der Differentialrechnung von e-Funktionen gefördert und kann durch die detaillierte Betrachtung der Herleitung vertieft und nachhaltiger gelernt werden. KOMPETENZPROFIL:
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Analysis: Die Exponentialfunktion und die Temperatur von Getränken (Raabe Fachverlag)
Tee zu kalt, Cola zu warm? Mathe Arbeitsblätter 10.-11. Schuljahr Es gibt nichts Besseres als ein eisgekühltes Getränk im Sommer und den heißen Aufwärmtee im Winter. Doch was für eine Mathematik steckt eigentlich dahinter, wenn dieses Getränk immer mehr die Umgebungstemperatur annimmt? Dieser Frage können die Lernenden mithilfe dieses Beitrags ausführlich auf den Grund gehen. Anhand von Messdaten wird der Zusammenhang zwischen Zeit und Temperatur von Getränken untersucht. Dabei werden mithilfe konkreter Anwendung der Tee-und Cola-Temperatur verschiedene Funktionstypen wie Polynome, Hyperbel, Exponentialfunktionen untersucht. Rechenregeln für Bruch-, Potenz- und Exponentialrechnung
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Die Arcusfunktionen (Raabe Fachverlag)
Unterrichtseinheit Mathematik Oberstufe Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr In dieser Unterrichtseinheit werden die Arcusfunktionen als Umkehrung der trigonometrischen Funktionen betrachtet und ausführlich in Beispielen und Aufgaben besprochen. Differentiation und Integration werden dabei ebenso behandelt wie die Verkettung mit anderen Funktionen. Anhand von vorgerechneten Beispielen wird den Lernenden demonstriert, wie sie mit den Funktionen arbeiten, ehe sie sich selbst an einer Reihe von Aufgaben versuchen. Inhaltsverzeichnis:
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Untersuchung einer Exponentialfunktion (Raabe Fachverlag)
Eigenschaften und Anwendungsprobleme Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 33 Seiten (2,2 MB) Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den Standardaufgaben des Analysis-Unterrichts der Oberstufe. Ebenso können Figuren zwischen den Graphen der Funktion und der x-Achse gelegt werden, sodass der Flächeninhalt maximal wird. Die Funktionsuntersuchung erweitert der Beitrag damit um Extremalwertaufgaben. Nimmt man zum Graph einer Funktion noch den Graphen der Ableitungsfunktion hinzu, so kann man nicht nur Flächenberechnungen zwischen dem Graphen der Ausgangsfunktion und der x-Achse, sondern auch ...
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Lineare Gleichungssysteme lösen (Raabe Fachverlag)
Gauß-Verfahren und Cramersche Regel Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 31 Seiten (0,8 MB) Die Unterrichtseinheit beschäftigt sich mit linearen Gleichungssystemen und stellt zwei Lösungsverfahren vor. Beim Gauß-Verfahren formen die Schülerinnen und Schüler die Gleichungen so um, dass sich die Lösung schließlich leicht bestimmen lässt. Dem gegenüber steht die Cramersche Regel, die eine allgemeine Lösungsformel bietet. Ausgehend von Beispielen führen Sie die Jugendlichen an die Verallgemeinerung der genannten Verfahren heran und bringen ihnen auch Begriffe wie n-Tupel, Diagonalform oder Matrix näher. Auch die verschiedenen möglichen Lösungsmengen werden diskutiert. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Differentialrechnung als Hilfsmittel (Raabe Fachverlag)
In technischen Handlungssituationen Mathe Arbeitsblätter 10.-11. Schuljahr 25 Seiten (3,4 MB) Die Differentialrechnung ist ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Anwendungssituationen. Gerade technische Fragestellungen bieten eine Vielzahl von unterschiedlichen Herausforderungen, die über die einfache Optimierung einer Pappschachtel deutlich hinausgehen. Motivieren Sie Ihre Klasse durch die Bearbeitung von praxisbezogenen Projektaufgaben und fördern Sie so die Kompetenz zur Modellierung mit den Werkzeugen der Analysis. KOMPETENZPROFIL:
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Analysis: Die Ableitungsregeln als Kartenspiel (Raabe Fachverlag)
Spielerisches Üben und Wiederholen Mathe Arbeitsblätter 10.-11. Schuljahr In der gymnasialen Oberstufe sind die Ableitungsregeln das A und O der Analysis. Wer diese sicher beherrscht, für den sind die späteren Kurvendiskussionen meist kein Problem. Warum die Ableitungsregeln nicht einfach mal spielerisch einüben? Angelehnt an das Kinderspiel „Der schwarze Peter“ sind Paare aus Funktion und deren Ableitung zu finden und es hat derjenige verloren, der am Ende die schwarze Ableitung hat. Das Spiel eignet sich bestens, Ihre Schülerinnen und Schüler zu motivieren und ihre Kenntnisse über die Ableitungsregeln zu festigen. KOMPETENZPROFIL:
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Transformation von Funktionen (Raabe Fachverlag)
Eine LearningApp als interaktiver Lernbaustein Mathe Arbeitsblätter 10.-13. Schuljahr 31 Seiten (3,1 MB) Durch Anwendung von bestimmten Transformationen auf den Graphen einer Funktion (Verschiebung, Streckung/Stauchung oder Spiegelung) erhalten die Jugendlichen die Graphen von „artverwandten“ Funktionen. Ist der Graph der Funktion bekannt, so können die Lernenden den Graphen der transformierten Funktion daraus ableiten und skizzieren. Ebenso bestimmen sie bei bekannter Ausgangsfunktion und vorgenommenen Transformationen den Funktionsterm der transformierten Funktion. Die Schüler lernen ihr bereits erworbenes Wissen über Transformationen (Verschiebung, Streckung/Stauchung sowie Spiegelung) anzuwenden. Sie erweitern ihre Kenntnisse zum Thema Spiegelungen (Spiegelung an einem beliebigen Punkt, Spiegelung an einer beliebigen Geraden parallel zur x- bzw. y-Achse). Zugleich festigen sie ihr Wissen in der Funktionsuntersuchung.
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Extremale Aussagen (Raabe Fachverlag)
Beweisführung in der Mathematik Mathe Arbeitsblätter 10.-13. Schuljahr 39 Seiten (1,2 MB) Die Unterrichtseinheit motiviert Ihre Schülerinnen und Schüler und fordert sie auf, sich mit der Beweisführung in der Mathematik anhand extremaler Aussagen zu beschäftigen und diese an entsprechenden Beispielen zu überprüfen. Dazu verwenden sie Zusammenhänge aus der Geometrie der Ebene (Rechteck – Quadrat; gleichschenkliges Dreieck – gleichseitiges Dreieck) und des Raumes (Quader – Würfel, Pyramide – Tetraeder). Die Beweise führen die Jugendlichen dabei in den klassischen Schritten: Voraussetzung, Behauptung, Beweis. Die Schüler lernen: Die Schülerinnen und Schüler vervollkommnen durch die Lösung der hier gestellten Aufgaben ihr Wissen und Können im Rahmen mathematischer Beweise. Ihnen wird anschaulich vor Augen geführt, dass sehr viele Beispiele, mögen sie einen mathematischen Zusammenhang auch noch so nahelegen, im Sinne der Mathematik keinen Beweis darstellen. Den Lernenden wird dabei (sicher zum wiederholten Male) bewusst gemacht, dass Beweise in der Mathematik allgemeingültig geführt werden müssen, d. h. auf der Basis von Variablen. Die Beweisführung muss dabei in drei Schritten erfolgen:
Abschließend kann die Richtigkeit der gefundenen Zusammenhänge und Abhängigkeiten jeweils anhand eines entsprechenden konkreten Beispiels überprüft werden. Ziel der Bearbeitung dieser Aufgaben ist die Weiterentwicklung des mathematisch-logischen Denkvermögens der Lernenden.
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Analysis: Größte und kleinste Werte (Raabe Fachverlag)
Förderung des Textverständnisses Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 13 Seiten (0,4 MB) Nicht nur bei der Schuhgröße gibt es größte und kleinste Werte. Für welchen Wert ist die Dreiecksfläche maximal? Wie lautet die Gerade, mit der die Kathetensumme minimal wird, und welchen minimalen Abstand hat ein Funktionsgraph zu einer Geraden? In diesem Beitrag beantworten Ihre Schülerinnen und Schüler diese und ähnliche Fragen mithilfe der Werkzeuge der Analysis. Die Aufgaben stärken besonders das Verstehen mathematischer Texte und festigen grundlegende Fertigkeiten des Mathematiklehrplans der Oberstufe. Die Schülerinnen und Schüler lernen ihr bereits erworbenes Wissen und Können in Aufgaben in Textform einzusetzen. Sie wenden dazu Ableitungsregeln (Summen-, Produkt-, Ketten- und Quotientenregel) an, bestimmen Geraden-, Tangenten- und Normalengleichungen und berechnen Extremwerte. Die Lösungswege der Aufgaben sind von grundlegendem Niveau, allerdings sind die Aufgaben teilweise ohne grafische Veranschaulichung gestellt, sodass die Jugendlichen die Problemstellung aus dem Text entnehmen bzw. skizzieren müssen. Bieten Sie daher Lernschwächeren zu der Aufgabenstellung die Abbildungen aus der Lösung an.
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Lineare Funktionen in ökonomischen Zusammenhängen (Raabe Fachverlag)
Funktionaler Zusammenhang Mathe Arbeitsblätter 9.-10. Schuljahr Lineare Funktionen sind ein wichtiges Mittel zur Modellierung für wirtschaftliche Zusammenhänge. Am Beispiel der Unternehmensgründung eines Food-Trucks erarbeiten sich die Schülerinnen und Schüler die wichtigsten Begriffe der Kostentheorie und vertiefen so ihre Modellierungskompetenz und die Grundfertigkeiten zur Anwendung von linearen Funktionen. Das Material ist sprachsensibel gestaltet und ermöglicht mit dem Wechsel zwischen digital gestützten Selbstlernphasen und klassischen Unterrichtseinheiten einen zeitgemäßen Unterricht. KOMPETENZPROFIL:
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Ableitungen im Buchstabennetz (Raabe Fachverlag)
Summen-, Produkt- und Kettenregel sicher anwenden Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 21 Seiten (1,2 MB) Rätsel faszinieren Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Während sie beim Buchstabensalat Worte streichen und am Ende ein Lösungswort ablesen können, werden sie im vorliegenden Beitrag durch berechnete Steigungen, die ein Graph einer Funktion an einer Stelle annimmt, gelenkt, um einen Lösungssatz in einem Buchstabennetz zu finden. Der Beitrag macht sich somit den motivierenden Aspekt von Rätseln zunutze. Zur Berechnung der Steigungen müssen die Lernenden die Summen-, Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel bei unterschiedlichen Funktionsklassen anwenden. Die Schüler lernen: die Ableitung von Exponentialfunktionen durch Anwenden der Summen-, Produkt-, (Quotienten-) und Kettenregel.
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Analysis: Kurvenanpassung (Raabe Fachverlag)
Mit Simulationen entdeckendes Lernen fördern Mathe Arbeitsblätter 12.-13. Schuljahr 10 Seiten (2,3 MB) Interaktive Simulationen eignen sich im Mathematikunterricht zur Visualisierung von Problemstellungen und Zusammenhängen. Ermöglichen Sie Ihren Schülerinnen und Schülern, durch das eigenständige Experimentieren und Entdecken eine inhaltliche Vorstellung für die Bedeutung des r2-Wertes zu entwickeln. Durch die Möglichkeit, die Daten interaktiv zu verändern, erhalten die Lernenden die Chance, die Veränderungen der Regressionsgerade und des r2-Wertes zu beobachten. KOMPETENZPROFIL:
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Eine Pyramide liegt in einer Pyramide (Raabe Fachverlag)
Das Volumenverhältnis zweier Pyramiden maximieren Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 15 Seiten (1,0 MB) Pyramiden sind nicht nur beliebte Touristenziele, man betrachtet sie auch gerne im Mathe matikunterricht der Mittel und Oberstufe. Im Beitrag prüfen die Schülerinnen und Schüler mit den Methoden der analytischen Geometrie, ob eine Pyramide gewisse Eigenschaften hat. Zudem bestimmen sie die Eckpunkte einer in einer Ausgangspyramide liegenden Pyramide so, dass ihr Volumen maximal wird. Hierzu wenden die Lernenden auch Methoden der Analysis an. Ihre Schüler ihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der analytischen Geometrie im räumlichen Ko ordinatensystem sicher anzuwenden. Dabei müssen sie verschiedene Eigenschaften von Pyramiden nachweisen und mithilfe der Methoden der Analysis den Parameter einer Pyramidenschar so bestimmen, dass das Volumenverhältnis der beiden Pyramiden maximal wird (Extremalaufgabe).
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Algebraische Funktionen (Raabe Fachverlag)
Funktionen über algebraische Gleichungen definiert Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 47 Seiten (1,0 MB) Die sieht eigentlich die Gleichung einer Ellipse oder einer „liegenden“ Parabel aus? In diesem Beitrag erfahren die Jugendlichen, dass Zuordnungen und Funktionen auch über algebraische Gleichungen definiert werden können. Das ermöglicht viele neue Möglichkeiten und Herangehensweisen auch in der Differenzialrechnung. Fordern Sie Ihre Lerngruppe mit den vielfältigen Aufgaben von weiterführendem Niveau heraus und fördern sie so gezielt leistungsstarke Schülerinnen und Schüler. Inhaltsverzeichnis:
Die Schüler lernen: Potenz- und Wurzelfunktionen zu diskutieren. Sie erfahren, dass Zuordnungen und Funktionen auch durch algebraische Gleichungen definiert werden können, lernen das implizite Differenzieren kennen und spalten nach Möglichkeit die Gleichungen in Funktionen auf.
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Analysis im Kontext - kompetenzorientierte LEKs (Raabe Fachverlag)
Sich eigenständig mit kontextbezogenen Aufgaben auseinandersetzen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr Die Unterrichtseinheit ermöglicht Ihren Schülerinnen und Schülern, weitgehend selbstständig die zentralen Themen der Analysis (Funktionen als mathematische Modelle, Fortführung der Differenzialrechnung, Grundverständnis des Integralbegriffs, Integralrechnung) gerade auch mit Blick auf das Abitur zu wiederholen. Dabei wird jeweils zwischen dem grundlegenden und dem erhöhten Anforderungsniveau differenziert. Zu jeder Aufgabe bieten Tippkarten außerdem zusätzliche Differenzierungsmöglichkeiten. Inhaltsverzeichnis:
Dadurch werden Kompetenzen gefördert, die für ein erfolgreiches Abschneiden bei Lernerfolgskontrollen wie auch im schriftlichen und mündlichen Abitur unabdingbar sind.
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Ableitung - verstehen und anwenden (Raabe Fachverlag)
Mit Hilfe von GeoGebra den Ableitungsbegriff ergründen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 21 Seiten (1,2 MB) Dieser Unterrichtsbeitrag behandelt das Thema Ableitung, die Grundlage für alle Funktionenbetrachtungen in der Oberstufe. Damit die Ableitung für die Schülerinnen und Schüler nicht nur ein abstrakter Begriff bleibt, wird sie zuerst mithilfe von GeoGebra und eigenen Grafiken visualisiert. In diesem Beitrag geht es insbesondere darum, selbst aktiv zu werden und in Zusammenarbeit mit anderen den Ableitungsbegriff zu verstehen und die Ableitungsregeln so zu verinnerlichen, um den Schrecken vor ihnen zu verlieren. Inhaltsverzeichnis:
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Ableitung von Exponentialfunktionen (Raabe Fachverlag)
Ein Ausmalbild für die Oberstufe - Mandala Mathe Arbeitsblätter 10.-13. Schuljahr 13 Seiten (1,2 MB) Ausmalbilder bzw. Mandalas kennen die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Der Beitrag macht sich den motivierenden Aspekt von Ausmalbildern zunutze. Vorwiegend durch Anwenden der Summen-, Produkt- und Kettenregel bestimmen die Lernenden die Ableitung von Exponentialfunktionen und entdecken durch Vergleich mit den vorgegebenen Ableitungen die auszumalende Fläche. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Nullstellen ganzrationaler Funktionen (Fachverlag)
Im hybriden Lernsetting produktiv Üben Mathe Arbeitsblätter 10.-11. Schuljahr 25 Seiten (2,9 MB) Die Unterrichtseinheit soll Ihren Schülerinnen und Schülern ein vielschichtiges Verständnis der Nullstellenberechnung mithilfe der PQ-Formel/Mitternachtsformel, Ausklammern, Substitution und höheren Verfahren vermitteln. Die Materialien enthalten Aufgaben des produktiven Übens und sind somit sinnstiftend, entdeckungsoffen, reflexiv und selbstdifferenzierend. Das Unterrichtsvorhaben besteht aus einer Kombination aus analogen und digitalen Elementen und ist dadurch gerade auch für ein hybrides Lernsetting geeignet. Weiterhin ermöglicht das Material Ihnen differenziert und individuell auf die Bedürfnisse einzelner Schülerinnen und Schüler einzugehen. KOMPETENZPROFIL:
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Wurzelfunktionen und Arkussinus (Fachverlag)
Eigenschaften und Verhalten von komplex zusammengesetzten Funktionen Mathe Arbeitsblätter 11.-12. Schuljahr 11 Seiten (0,4 MB) Die Unterrichtseinheit fordert Ihre Schülerinnen und Schüler heraus – in einem Test diskutieren sie Eigenschaften und Verhalten von zusammengesetzten Funktionen aus Arkussinus-, Wurzel- und gebrochenrationalen Termen und bestimmen Integrale mithilfe der partiellen Integration und Integration über Substitution. Dadurch festigen sie ihr Können und Wissen über Umkehrfunktionen, der Differential- und Integralrechnung. Inhalt:
Die Schülerinnen und Schüler zusammengesetzte Funktionen aus Arkussinus-, Wurzel- und gebrochenrationalen Termen kennen und bestimmen deren Definitionsmengen, Nullstellen, Monotonie, Extrema und Verhalten bei Annäherung an Definitionslücken.
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Wurzelgleichungen - ein Lernzirkel zur Analysis (Fachverlag)
Stationenlernen Sek. II Mathe Arbeitsblätter 11.-12. Schuljahr 43 Seiten (1,1 MB) Das Lösen von Potenzen und Wurzeln und die Äquivalenzumformungen über Gleichungen/ Ungleichungen werden wiederholt. Zur Motivation der Anwendung von Wurzelgleichungen dient eine Aufgabe zu Berechnungen am Obelisken von Luxor, der seit 1836 auf dem Place de la Concorde in Paris steht. Anschließend wird der Begriff der Wurzelgleichung einschließlich einer Schrittfolge zum Lösen derselben eingeführt. Übung und Festigung erfolgen durch das Lösen entsprechender Aufgaben in Gruppenarbeit in Form eines Lernzirkels. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Wachstumsvorgänge (Fachverlag)
Lineare, exponentielle, beschränkte und logistische Prozesse verstehen Mathe Arbeitsblätter 11.-12. Schuljahr 20 Seiten (6,1 MB) In der Natur und vielen anderen Lebensbereichen gibt es Wachstumsvorgänge, die in mathematische Modelle übersetzt werden können. In diesem Beitrag werden die wichtigsten Wachstumsmodelle lineares, exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum gegenübergestellt. KOMPETENZPROFIL:
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Analysis - Das Newtonverfahren zur Nullstellenbestimmung (Fachverlag)
Klimaneutralität in Deutschland? Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 20 Seiten (4,0 MB) Das Newtonnäherungsverfahren ist ein numerisches Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen von differenzierbaren Funktionen. Im Unterricht kann dieses Verfahren gut mit einer Tabellenkalkulationssoftware umgesetzt werden. Auf diese Weise können digitale Kompetenzen in Verbindung mit mathematischen Inhalten aufgebaut und vertieft werden. Der Beitrag baut auf einer beispielhaften Anwendungssituation mit Bezug zur CO2-Emission in Deutschland auf, sodass ein handlungs- und problemorientierter Unterricht gestaltet werden kann. KOMPETENZPROFIL:
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Exponentielles Wachstum - Analysis (Fachverlag)
Die COVID-19-Pandemie Mathe Arbeitsblätter 5.-13. Schuljahr Die Unterrichtsreihe beschäftigt sich mathematisch mit der Corona-Krise. Die Schüler lernen wichtige Kenngrößen zu berechnen, Verläufe zu modellieren und Grafiken zum Thema zu interpretieren bzw. eigene zu erstellen. Ausgehend von Daten für die erste Hälfte des Jahres 2020 werden Begriffe, Simulationen und die Interpretation von typischen Grafiken in den Medien schulgerecht aufgearbeitet KOMPETENZPROFIL:
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Quadrat falten (Fachverlag)
Geradengleichungen, Extremwertaufgaben u.v.m Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr 15 Seiten (1,6 MB) In dieser Handreichung (Oberstufe Mathematik) üben Ihre Schüler unter anderem das Konstruieren mit Zirkel und Lineal und das Aufstellen von Geradengleichungen. Kompetenzprofil:
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Analysis: Steig- und Sinkflug beim Segelfliegen
Ableitungs- und Integralfunktionen anwenden (mit GTR) 11.-13. Schuljahr /Oberstufe Mathe Arbeitsblätter Gymnasium Ohne Motor und mit einer ordentlichen Portion Mut geht es hoch in die Lüfte. Eine Seilwinde beschleunigt die schlanken Flieger, bis sie abheben. Danach nutzen die Piloten geschickt die Thermik aus und können so mehrere Stunden in der Luft bleiben. In diesem Beitrag werden die verschiedenen Segelflugphasen mit Polynomfunktionen modelliert. Mithilfe von Ableitungs- und Integralfunktionen bestimmen die Schüler und Schülerinnen damit unter anderem Flughöhen, -zeiten und Maximalgeschwindigkeiten. Die Schüler lernen: die Werkzeuge der Analysis auf ein reales Problem anzuwenden. Sie festigen ihr Können und Wissen über Ableitungs- und Integralfunktionen sowie Gleichungssysteme und bewerten ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang. Kompetenzprofil:
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Analysis: Kompetenzbereich Modellieren
Die Entwicklung von Covid-19 aus mathematischer Sicht 11.-13. Schuljahr /Oberstufe 29 Seiten (2,2 MB) Mathe Arbeitsblätter Gymnasium Die Unterrichtseinheit bietet anhand authentischer Kontexte die Möglichkeit, insbesondere die Kompetenzbereiche Modellieren und Werkzeuge nutzen zu stärken. Mathematik kann sich nur im Wechselspiel zwischen der Theorie und der Realität entwickeln, um so einen Beitrag zu leisten, die uns umgebende Welt zu verstehen und mitzugestalten. Die Materialien erlauben weitgehend eine selbstständige Erarbeitung der Sachzusammenhänge. Der GTR nimmt in diesem Beitrag einen breiten Raum ein, zum einen ist er ein wichtiges Hilfsmittel für die Berechnungen und grafischen Darstellungen im Zusammenhang mit Modellfunktionen, zum anderen bietet er Experimentiermöglichkeiten, um beispielsweise die e-Funktion als Lösung der Zerfallsgleichung durch Probieren zu finden. Inhaltsverzeichnis:
Authentische Anforderungssituationen, von denen Schülerinnen und Schüler1 betroffen sind, finden sich in der Corona-Krise. Sie stellt zwar eine enorme Belastung für die Gesellschaft und die Gesundheit der Menschen in vielen Aspekten dar, bietet aber aus mathematischer Sichtweise umfangreiches Zahlenmaterial. Auf dieser Basis kann die Kernkompetenz des sinnstiftenden Modellierens gefördert werden. Der gewünschte handelnde Umgang mit Wissen und Werten erfordert an dieser Stelle den Einsatz des GTR, um das umfangreiche Datenmaterial zu präsentieren und zu verarbeiten. In der Bevölkerung bestehen wenn überhaupt nur vage Vorstellungen über das Wachstum, in der Regel wird nur zwischen linearem Wachstum (die Werte steigen gleichmäßig an) und exponentiellem Wachstum (die Werte steigen schnell an) unterschieden, ohne dass eine klare mathematische Begriffsbildung existiert. Auch Schüler sind häufig zufrieden, wenn sie zu vorhandenen Werten z. B. eine exponentielle Modellfunktion gefunden haben, sodass der Graph durch möglichst viele Messpunkte verläuft. Hier muss die Transparenz geschaffen werden, die Sinnhaftigkeit der Modellierung herauszuarbeiten: welcher Nutzen ergibt sich aus der Kenntnis der Modellfunktion? Diese Punkte werden jetzt konkret an den einzelnen Blättern des Aufgabenmaterials verdeutlicht.
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Mathematik: Mach dich fit für die Abschlussprüfung
Quadratische Funktionen - funktionaler Zusammenhang Mathe Lernzielkontrolle 9./10. Klasse Prüfungsaufgaben zum Schwerpunktthema Quadratische Funktionen erfolgreich bearbeiten – hier bekommen Ihre Schülerinnen und Schüler einen kurzen Überblick zu den wichtigsten Grundwissensbausteinen und erlangen grundlegende Strategien zum Lösen der Aufgabenstellungen. KOMPETENZPROFIL:
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Funktionsuntersuchungen mit Dynamischer Geometrie-Software
Computer im Mathematikunterricht Mathe Arbeitsblätter, 9. bis 10. Schuljahr GeoGebra ist ein digitales Werkzeug für den modernen Mathematikunterricht. Die Schieberegler in diesem Programm bieten eine anschauliche Möglichkeit, den Einfluss von Parametern auf Funktionen zu untersuchen. Bringen Sie Ihren Schülerinnen und Schülern bei, mit den Schiebereglern zu arbeiten. Sie lernen so ein Werkzeug kennen, um Mathematik anschaulich zu machen und zu verstehen. KOMPETENZPROFIL:
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Lineare Gleichungssysteme (Fachverlag)
Zwei und drei Variablen Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr 33 Seiten (1,2 MB) Mithilfe der Arbeitsblätter und Kopiervorlagen (SEK II) lernen Ihre Schüler die unterschiedlichen Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit zwei und drei Variablen kennen. Anschließend wenden Sie ihr gewonnenes Wissen in abgestimmten Aufgaben an. Mit der Leistungskontrolle können Sie das Wissen Ihrer Lernenden prüfen. Kompetenzprofil:
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Ganzrationale Funktion (Fachverlag)
Symmetrie, Extrempunkt und Integral Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr In diesem Beitrag prüfen Ihre Schüler ihr mathematisches Wissen. Sie untersuchen eine ganzrationale Funktion hinsichtlich Symmetrie und Extrempunkte. Darüber hinaus führen sie Berechnungen zu Schnittpunkten und Integralen durch. Kompetenzprofil:
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Grafisches Integrieren (Fachverlag)
Lernzirkel zur Analysis Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr In der Unterrichtseinheit soll der Graph einer Stammfunktion zeichnerisch gewonnen werden. Im ersten Teil des Beitrags werden die Grundlagen wiederholt und das grafische Integrieren erläutert. Im zweiten Teil des Beitrags haben Ihre Schüler die Möglichkeit das gewonnene Wissen durch abgestimmte Aufgaben innerhalb eines Lernzirkels / eines Stationenlernens anzuwenden und zu festigen. Kompetenzprofil:
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Integration spezieller und zusammengesetzter Funktionen (Fachverlag)
Analysis in der Sekundarstufe II Mathematik Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr 48 Seiten (2,5 MB) In diesem Beitrag lernen die Schüler zunächst verkettete Funktionen und damit auch die Kettenregel der Differenzialrechnung neu kennen. Anschließend wiederholen sie zum Einstieg in die Integralrechnung Integrale von elementaren Funktionen. Danach erarbeiten sich die Lernenden durch zielgerichtete Aufgaben Integrationsformeln für spezielle (zusammengesetzte) Funktionen. Diese Formeln, sowie die partielle Integration wenden sie schließlich an komplexeren Integralen an. Als Hilfestellung dazu enthält der Beitrag eine kleine Formelsammlung spezieller Integrationen sowie Beschreibungen von bewährten Methoden der partiellen Integration. Inhaltsverzeichnis:
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Die Bedeutung der zweiten Ableitung
Abiturvorbereitung: Analysis 11.-12. Schuljahr /Oberstufe Mathe Arbeitsblätter Gymnasium Funktionale Zusammenhänge zwischen zwei Zahlenbereichen (üblicherweise x und y = f(x)) werden gern als Graphen dargestellt, deren Steigungsverhalten sich in vielfältiger Weise ändern kann. Der Graph kann steigen, dann immer stärker steigen oder immer weniger stark. Entsprechendes gilt für das Fallen. Analytisch wird dieses grafische Verhalten beschrieben durch die 1. bzw. 2. Ableitung und insbesondere deren Vorzeichen bzw. Nullstellen. Haben die Schüler die Ankeridee der 1. Ableitung verstanden, stellt auch der Transfer auf die Ableitung der Ableitung bzw. die 2. Ableitung kein großes Problem mehr dar. KOMPETENZPROFIL:
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Analyses: Kurvenbögen mit GeoGebra modellieren (Fachverlag)
Eine Lerntheke Mathe Arbeitsblätter 11./12. Schuljahr In einem gleichschenkligen Dreieck werden zunächst die einbeschriebene und die umbeschriebene Parabel betrachtet, genannt Inparabel bzw. Umparabel. Mithilfe von GeoGebra lassen sich durch dynamisches Experimentieren bemerkenswerte Eigenschaften entdecken, mit denen ausgewählte Anwendungsaufgaben praktisch gelöst werden können. In analoger Weise schließen sich Betrachtungen über andere Arten einbeschriebener bzw. umbeschriebener Kurvenbögen an. KOMPETENZPROFIL:
Trotz der Expertenbeweise ist das eigentliche Ziel der Materialien, anstelle von Beweisen markante Eigenschaften ein- und umbeschriebener Kurvenbögen mittels GeoGebra experimentell zu erschließen und zu verdeutlichen, dass bei dynamischen Veränderungen einer oder mehrerer variabler Größen gewisse andere Größen konstant bleiben. Die Thematik der ein- und umbeschriebenen Kurvenbögen eignet sich in besonderer Weise für den Einsatz dynamischer Geometrie-Software und kann somit einen zwar nur relativ kleinen, aber dennoch typischen Einblick in die immensen Möglichkeiten von GeoGebra gewähren. Ihren Schülern vermitteln Sie Anreize, mathematische Zusammenhänge auch ohne Beweise durch reines Experimentieren zu entdecken. Somit lassen sich etliche Anwendungsaufgaben schneller und unkomplizierter lösen.
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Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (Fachverlag)
Geometrie und Anwendung Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr 37 Seiten (1,4 MB) In der Unterrichtseinheit werden im Theorieteil einige Beispiele zu Extremwertaufgaben aufgeführt, beispielsweise wie man den zum Ursprung nächsten Kurvenpunkt oder das größtmögliche Quadervolumen in einer Pyramide erhält. Anschließend führen Ihre Schüler abgestimmte Aufgaben zu Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen durch und können mit der Leistungskontrolle ihren Lernfortschritt prüfen. Kompetenzprofil:
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Analysis: Produktregel und Kettenregel (Fachverlag)
Drehungen und Spiegelungen mit Matrizen beschreiben Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr, 33 Seiten (0,9 MB) In dieser Unterrichtseinheit üben Ihre Schülerinnen und Schüler anhand von zahlreichen Beispielen und Aufgaben das Ableiten von Funktionstermen mithilfe der Produkt- und der Kettenregel. Sichere Kenntnisse und Fertigkeiten zu diesen Verfahren helfen den Lernenden – neben dem inhaltlichen Verständnis des Ableitungsbegriffs –, wenn sie die Differenzialrechnung inner- oder außermathematisch anwenden. Solche eingeübten Vorgehensweisen helfen den Jugendlichen später im Berufsleben, da sie schon an das korrekte, verständige, schnelle und sichere Abarbeiten von Handlungsvorschriften gewöhnt sind. Inhaltsverzeichnis:
Die Schüler lernen die Produkt- und Kettenregel der Differenzialrechnung schnell und sicher anzuwenden. Des Weiteren lernen Sie einige „Tricks“ und Methoden zum Ableiten kennen.
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Analysis: Puzzle zum Thema "Lineare Funktionen" (Fachverlag)
Ein Rätsel zu den Eigenschaften linearer Funktionen Mathe Arbeitsblätter 8.- 11. Schuljahr, 14 Seiten (2,4 MB) Puzzles faszinieren die Schülerinnen und Schüler seit ihrer Kindheit. Beim Zusammensetzen müssen die Teile genau passen. Ähnlich ist es bei Anlegespielen wie z. B. Domino, bei dem Spielsteine mit gleicher Augenzahl aneinandergelegt werden. Der Beitrag macht sich den motivierenden Aspekt dieser Spiele zunutze. Mit einem Anlegespiel zu linearen Funktionen lernt Ihre Klasse spielerisch das Aufstellen von Geradengleichungen. Die Dreieckseiten sind mit zwei Punkten, einem Punkt und der Steigung oder einem Punkt und dem y-Achsenabschnitt der Geraden sowie einer Funktionsgleichung beschriftet. Bestimmen die Lernenden aus den Eigenschaften der Geraden die Funktionsgleichung, so können sie die entsprechenden Dreiecke zu einem Stern vervollständigen.
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Analysis: Eine Biene mit Gehirn (Fachverlag)
Anwendungsorientierte Aufgaben zur Abiturvorbereitung Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr, 14 Seiten (2,4 MB) Eine zusammengesetzte (mit einer linearen Funktion verkettete) Sinusfunktion bietet Anlass zu verschiedenen analytischen und geometrischen Untersuchungen. Für den insektenähnlichen Roboter „RoboBee“ werden einige als Aufgaben formulierte Modellierungsaspekte betrachtet. Diese nehmen u. a. Bezug auf eine Sinusfunktion und auf physikalische Anwendungen. Die abiturähnlichen Problemstellungen sind gut einsetzbar in der Prüfungsvorbereitung. KOMPETENZPROFIL:
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Analysis: Kryptografie (Fachverlag)
Drehungen und Spiegelungen mit Matrizen beschreiben Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr, 37 Seiten (1,7 MB) In der Unterrichtseinheit lernen Ihre Schülerinnen und Schüler verschiedene Verschlüsselungsverfahren, z. B. das Caesar-Verfahren, kennen. Mithilfe von Matrizen beschreiben sie Drehungen und Spiegelungen. Es bietet sich an mit dem CAS von GeoGebra zu arbeiten. Das Modulo-Rechnen wird nebenbei eingeführt. Mithilfe von Drehungen und Spiegelungen kann man Matrizen beschreiben. Geometrie und Algebra sind also verwandte Disziplinen. Einerseits können Ihre Schüler Berechnungen mit bestimmten Matrizen geometrisch beschreiben. Andererseits lassen sich geometrische Operationen durch Berechnungen bzw. Abbildung darstellen. Bei Drehungen und Spiegelungen und bei den Berechnungen mit entsprechenden Matrizen erkennt man, dass entgegen typischer Rechenoperationen mit Zahlen nicht das Kommutativgesetz gilt. Inhaltsverzeichnis:
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Unendliche Variantenvielfalt - mathematische Regeln wiederholen (Fachverlag)
Exponentialfunktionen in der Oberstufe Mathematik Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr In diesem Beitrag sind Exponentialfunktionen Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen. Kompetenzprofil:
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Analysis: Kuboktaeder (Fachverlag)
Verschiedene geometrische Fragestellungen untersuchen Mathe Arbeitsblätter 10.-13. Schuljahr 13 Seiten (0,8 MB) Der Kuboktaeder ist vorstellungsweise ein Würfel, dessen acht Ecken abgeschnitten wurden. Um diese Körperform z. B. aus einem Gesteinswürfel zu erhalten, kennzeichnet man die Mittelpunkte aller Würfelkanten und schneidet die dadurch markierten acht Eckpyramiden ab. Die besondere Form des Körpers bietet Anlass zur Untersuchung einiger geometrischer Fragestellungen, die von der elementaren räumlichen Geometrie bis zur analytischen Vektorgeometrie des Raumes reichen. Mit diesem Beitrag schulen Sie insbesondere das räumliche Vorstellungsvermögen der Lernenden. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Reelle Funktionen (Fachverlag)
Lernerfolgskontrollen - Klausuren, Sekundarstufe II Mathematik Mathe Klausur, 11.- 13. Schuljahr 25 Seiten (1,0 MB) Die Unterrichtseinheit enthält Lernerfolgskontrollen im Bereich der Exponential- und Logarithmusfunktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests zu prüfen. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Die Euler'sche Gerade (Fachverlag)
Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt Mathe Arbeitsblätter 10.-13. Schuljahr 31 Seiten (1,9 MB) In dieser Unterrichtseinheit lernen Ihre Schülerinnen und Schüler die Euler‘sche Gerade kennen, die nach dem berühmten Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) benannt wurde. Sie beschreibt eine Gerade durch drei charakteristische Punkte eines Dreiecks: den Umkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt. Genauso wie Euler wird Ihre Klasse erstaunliche Eigenschaften der Punkte und Geraden entdecken und sie sowohl an konkreten Beispielen überprüfen als auch allgemein beweisen. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Gebrochenrationale Funktionen
Lernerfolgskontrollen - Klausuren 11.-13. Schuljahr /Oberstufe 25 Seiten (1,1 MB) Mathe Arbeitsblätter Gymnasium Exponentialfunktionen sind in der Unterrichtseinheit Gegenstand umfangreicher Betrachtungen. Ziel ist es, die grenzenlose Fülle der sich daraus ergebenden Möglichkeiten zur Wiederholung, Übung und Anwendung mathematischer Regeln und Berechnungen in der Differential- und der Integralrechnung darzustellen und ihre Nutzung im Unterricht anzuregen. Kompetenzprofil.:
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Analysis: Änderungsrate beim Füllstand einer Talsperre(Fachverlag)
Ableitungsfunktion und Integralfunktion anwenden und Gleichungssysteme lösen Mathe Test/Überprüfung 11.- 13. Schuljahr, 15 Seiten (1,0 MB) Die Schüler lernen ihr Können und Wissen über Ableitungs- und Integralfunktionen sowie Gleichungssysteme in einem konkreten, realitätsnahen Beispiel anzuwenden, und bewerten ihre Ergebnisse im Sachzusammenhang. Die Dürre hatte die vergangenen Jahre viele Teile Europas fest im Griff. Sie lässt die Pflanzenwelt verkümmern, senkt den Grundwasserspiegel und den Wasserstand von Flüssen und Stauseen. Dadurch produzieren auch Wasserkraftwerke weniger „grünen“ Strom. Mit den Werkzeugen der Analysis untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler innerhalb dieses aktuellen Themas die Auswirkungen auf den Füllstand einer Talsperre. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Den Mittelwert einer Funktion auf einem Intervall - am Beispiel des Corona-Virus (Fachverlag)
Mittelwertsatz der Differenzial- bzw. Integralrechnung Mathe Test/Überprüfung 11.- 13. Schuljahr, 35 Seiten (1,8 MB) Wie viele Menschen infizieren sich wöchentlich durchschnittlich mit dem Corona-Virus? Dies ist nicht nur für die Johns-Hopkins-Universität interessant, sondern stellt eine aktuelle Anwendung des Mittelwerts von Funktionen dar. Vom Begriff des arithmetischen Mittels ausgehend erarbeiten sich die Lernenden in diesem Beitrag den Mittelwert von Funktionswerten. Dies führt sie schließlich zum Mittelwertsatz der Integralrechnung, dessen Beweis sie ebenfalls kennenlernen. Als Ausblick verweist der Beitrag auf den verwandten Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Die vorgestellten Begriffe vertiefen Ihre Schülerinnen und Schüler an einigen Aufgaben und zur Lernzielkontrolle finden Sie am Ende des Beitrags eine Klausur. Inhaltsverzeichnis:
Die Schüler lernen den Mittelwert von Funktionen, den Mittelwertsatz der Integral- und Differenzialrechnung an konkreten Beispielen kennen und festigen ihr neues Wissen mithilfe von realitätsnahen Aufgaben. Besonders interessierte Lernende erarbeiten sich den Beweis des Mittelwertsatzes der Integralrechnung.
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Analysis: Änderungsrate beim Flächeninhalt von Dreiecken (Fachverlag)
Arbeiten mit einer dynamischen Geometriesoftware Mathe Arbeitsblätter 11./12. Schuljahr 27 Seiten (1,9 MB) Die Schüler lernen Ortskurven kennen, die sie algebraisch sowie geometrisch aufstellen. Sie erarbeiten sich die Bedienung einer dynamischen Geometriesoftware, wodurch sie die Aufgaben lösen und überprüfen können. Beim Parkett verlegen geht es um jeden Millimeter. Besonders verwinkelte Räume und komplizierte Muster stellen eine Herausforderung dar. Bei einer strahlenförmigen Verlegung bilden sich ähnliche rechtwinklige Dreiecke. Wie sich ihr Flächeninhalt verändert, untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag. Insbesondere erarbeiten sie sich zum Lösen und Überprüfen der Aufgaben den Umgang mit einer dynamischen Geometriesoftware. Inhaltsverzeichnis:
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Trigonometrische und periodische Funktionen (Fachverlag)
Klausur Mathematik: Statistik Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr 29 Seiten (2,8 MB) Die Aufgabensammlung handelt von den elementaren trigonometrischen Funktionen und weiteren Abbildungen mit periodischen Eigenschaften. Eigenständig oder in Gruppenarbeit vertiefen die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Verständnis. Dabei verbinden sie verschiedene Teildisziplinen der gymnasialen Oberstufe zu einem Ganzen. Mit herausfordernden Fragestellungen schaffen Sie ein fundiertes Verständnis für das weitrechende Thema der periodischen Funktionen. Kompetenzprofil:
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Differenzieren und Integrieren in Sachzusammenhängen(Fachverlag)
Arbeitsblätter Analysis Sekundarstufe II Mathematik Mathe Arbeitsblätter 11.- 13. Schuljahr 37 Seiten (3,3 MB) Diese Unterrichtseinheit dient dem Training der Differenzial- und Integralrechnung in motivierenden Einkleidungen. Behandelt werden verschiedene Funktionsklassen von ganzrationalen Funktionen bis hin zu Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen. Neben wichtigen Ableitungsregeln wie Produkt- und Kettenregel widmet sich der Beitrag u. a. der Wiederholung und Vertiefung verschiedener Integrationsverfahren wie der partiellen Integration und der Integration mittels Substitution. Inhaltsverzeichnis:
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Analysis: Ganzrationale Funktionen
Lernerfolgskontrollen - Klausuren 11.-13. Schuljahr /Oberstufe Mathe Lernerfolgskontrolle Gymnasium 21 Seiten (1,2 MB) Stromtarife lassen sich durch eine ganzrationale Funktion modellieren. In diesem Beitrag geht es um Übungen im Bereich der ganzrationalen Funktionen. Ziel ist es, das Wissen der Schüler durch vorgefertigte Tests unter Beweis zu stellen und ihr Zeitmanagement zu fördern. Inhaltsverzeichnis:
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COVID-19 - Verbreitungs- und Wachstumsarten
Mathematische Modelle richtig anwenden 11.-13. Schuljahr /Oberstufe Mathe Lernerfolgskontrolle Gymnasium 21 Seiten (1,6 MB) Wissenschaftler haben verschiedene Wachstumsmodelle entwickelt, um in der Natur auftretende Phänomene beschreiben zu können. Zum Beispiel entwickeln sich Populationen je nach Nahrungsvorrat und Rahmenbedingungen unterschiedlich. Ausgehend von der einfachen, linearen Zunahme behandelt der Beitrag zunächst das (hemmungslose,) exponentielle Wachstum, dann das beschränkte (bei vorhandenen Sättigungsgrenzen) sowie schließlich das logistische Wachstum mit seiner charakteristischen Wendestelle. Diese Situation findet sich bei der globalen Corona-Pandemie. Inhaltsverzeichnis:
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Gemischte Klausuraufgaben zur Analysis
Übungen mit Selbstkontrolle in Kreuzzahlrätselform 12.-13. Schuljahr /Oberstufe Mathe Lernerfolgskontrolle Gymnasium 17 Seiten (1,2 MB) Diese Unterrichtseinheit beinhaltet einen umfangreichen Streifzug durch die Themenbereiche der Oberstufen-Analysis. Der Beitrag eignet sich daher sehr gut dazu, die abiturrelevanten Inhalte in diesem Bereich aufzufrischen und wachzuhalten. Alle Aufgabenstellungen sind eingekleidet in ein Kreuzzahlrätsel, sodass das Üben und Wiederholen einen spielerischen Charakter erhält. Durch Selbstkontrollmöglichkeiten können Sie Ihre Schülerinnen und Schüler die Aufgaben eigenständig bearbeiten und die Richtigkeit ihrer Ergebnisse größtenteils selbstständig überprüfen lassen. KOMPETENZPROFIL:
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Schar von Logarithmusfunktionen, Stammfunktion (Raabe Fachverlag)
Lernzielkontrolle Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 9 Seiten (0,5 MB) Ihre Klasse ist fit in Kurvendiskussionen, Stamm- und Integralfunktionen und die Jugendlichen kennen den natürlichen Logarithmus wie ihre eigene Westentasche?
In einer Lernerfolgskontrolle können Sie den Wissenstand Ihrer Schülerinnen und Schüler genau erfassen und sie so gezielt nach ihrem Leistungsstand fördern. Inhaltsverzeichnis:
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Teilungsverhältnis von Flächen und Körpern (Raabe Fachverlag)
Flächeninhalte bestimmen und vergleichen Mathe Arbeitsblätter 10.-12. Schuljahr Teilungsverhältnisse von Strecken und Flächen kennen die Schülerinnen und Schüler schon aus der Unter- und Mittelstufe (z. B.: die Seitenhalbierenden im Dreieck teilen sich im Verhältnis 2 : 1; die Diagonalen in der Raute halbieren die Fläche). Im Beitrag untersuchen sie zwei sich schneidende Parabeln, die von den Parabeln eingeschlossenen Viereckflächen, in welchem Verhältnis die Flächeninhalte dieser Flächen stehen und ob eine Rotation dieser Flächen um die x-Achse Auswirkungen auf das Teilungsverhältnis hat. Zudem werden die Flächen durch eine Gerade unterteilt, sodass eine Extremalaufgabe bzw. eine Parameteraufgabe entsteht. Der Beitrag widmet sich somit der Wiederholung und Vertiefung verschiedener Verfahren der Flächen- und Volumenberechnung mittels Integration oder bekannter Formeln. Inhaltsverzeichnis:
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Abiturvorbereitung Analysis (Raabe Fachverlag)
Potenzen, Exponential- und Logarithmusfunktionen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 27 Seiten (0,6 MB) In der Unterrichtseinheit finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Jugendlichen diskutieren gebrochen-rationale, zusammengesetzte Logarithmus- und Exponentialfunktionsscharen, wenden Different-iations- und Integrationsregeln an, unterscheiden Integral- von Stammfunktionen und berechnen Flächeninhalte. Die Schüler lernen: ihr Wissen und Können in abiturrelevanten Aufgaben anzuwenden. Mit den Materialien können die Jugendlichen ihre Fähigkeiten unter Zeitvorgaben testen, das fördert insbesondere auch ihr Zeitmanagement.
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Analysis: Stern in Ebene und Raum (Raabe Fachverlag)
Eine Metalldrahtfigur mit LED-Leuchten Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr Der Beitrag betrachtet eine Weihnachtsdekoration mit den Methoden der Analysis oder der analytischen Geometrie. Ein fünfzackiger Weihnachtsstern entspricht einem Zehneck, bei dem fünf Ecken nach außen und fünf nach innen gerichtet sind. Wird mittels einer Schraubverbindung ein weiterer fünfzackiger Stern hinzugefügt, lassen sich die beiden in einem bestimmten Winkel zueinander drehen und aufstellen. Die Schüler bestimmen die Eckpunkte der Zehnecke und übertragen sie ins räumliche Koordinatensystem. Untersucht wird weiterhin, ob eine LED-Kerze unter die stehende Figur passt und wenn ja, wie groß der Abstand des Randes der Kerze zum Stern ist. Die Schüler lernen: mithilfe der Beziehung m = tan(a) zwischen der Steigung m einer Geraden und dem Schnittwinkel a der Geraden mit der x-Achse das Aufstellen der Punkt-Steigungsform bzw. der Punkt-Richtungsform einer Geradengleichung. Sie bestimmen den Schnittpunkt zweier Geraden bzw. den Schnittpunkt von Geraden und Kreis mithilfe des Einsetzungs-verfahrens. Die Lernenden übertragen ebene Koordinaten in ein räumliches Koordinatensystem und überprüfen, ob eine zylinderförmige Kerze unter den Leuchtstern passt bzw. wenn dies der Fall ist, wie groß der Abstand des oberen Randes zum Stern ist.
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Optimierung des Flächeninhalts (Raabe Fachverlag)
Der zerbrochene Spiegel Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr Extremwertprobleme, also die Bestimmung lokaler Minima oder Maxima, sind ein wesentlicher Baustein bei der Behandlung der Differentialrechnung, vor allem im Rahmen der innermathematischen Problematik „Kurvendiskussion“. Wichtiger und reizvoller ist für Schülerinnen und Schüler aber die Anwendung dieser Kenntnisse und Fertigkeiten auf Alltagsprobleme. Selbstgesteuerte Lernformen wie z. B. Probieren, Vermuten, Vergleichen und Präsentieren sind besonders motivierend für die Lernenden. Ergebnisse selbst zu ermitteln und anschließend durch Verallgemeinerung zu bestätigen, ist didaktisch sinnvoll für den Wissenserwerb und die Verinnerlichung der erworbenen Kenntnisse. Die Schüler lernen: Durch die Bearbeitung realer, praxisnaher Aufgabenstellungen wird den Schülerinnen und Schülern bewusst, dass mathematisches Wissen und Können keinem Selbstzweck dienen. Sie erfahren, dass sie im Alltag auftretende Probleme durch mathematisches Modellieren zielgerichtet und erfolgreich bearbeiten, und dabei auch verschiedene Lösungswege nutzen können. Die Lernenden erkennen, dass mathematisch-konstruktive Darstellungen das Finden eines Lösungsansatzes erleichtern und beim Abarbeiten des Lösungsweges helfen. Die Schülerinnen und Schüler üben und vervollkommnen ihre Fähigkeit, mathematisch zu kommunizieren und entsprechend zu argumentieren.
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Mathematik: Parabeln, Parabeln, Parabeln (Raabe Fachverlag)
Analysis in der Oberstufe Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr Die Unterrichtseinheit enthält eine Sammlung von Aufgaben, die sich mit Parabeln beschäftigen. Zur Durchführung von Kurvendiskussionen sowie der Berechnung von Flächen und Volumina wenden die Schüler dabei ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung an. Zur Berechnung von Schnittwinkeln kommen auch Winkelfunktionen zum Einsatz. Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre Kenntnisse in der Differential- und Integralrechnung an, um Kurvendiskussionen von Parabeln durchzuführen sowie Flächen und Volumina zu berechnen. Auch Schnittpunkte von Kurven wie auch die Schnittwinkel sind zu bestimmen. Mit Hilfe mehrerer Übungsaufgaben wird das Wissen vertieft und gefestigt.
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Extremwertprobleme und Anwendungen bei einer Exponentialfunktion (Raabe Fachverlag)
Spielerisches Üben und Wiederholen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr Funktionsuntersuchungen mit Eigenschaftsbestimmungen gehören zu den Standardaufgaben des Analysis-Unterrichts der Oberstufe. Nimmt man jedoch zum Graph einer Funktion noch z. B. den Graphen der Ableitungsfunktion oder den verschobenen bzw. gespiegelten Graphen der Funktion hinzu, so lassen sich dazwischen Dreiecke mit bestimmten Eigenschaften legen. Ebenso können Figuren zwischen die Graphen gelegt werden, sodass der Flächeninhalt maximal wird. Die Funktionsuntersuchung erweitert der Beitrag damit um Extremalwertaufgaben. Der Graph einer Exponentialfunktion und der gespiegelte bzw. verschobene Graph der Funktion bilden bei weiteren Aufgaben den Querschnitt von Körpern. Anwendungsaufgaben stellen bestimmte Anforderungen an diese Körper, welche die Lernenden lösen. Die Schüler und Schülerinnen lernen: durch Ableitung einer Exponentialfunktion oder Spiegelung bzw. Verschiebung ihres Graphen weitere Graphen zu bestimmen. Sie legen zwischen die Graphen ein Dreieck, welches abhängig von einer Parallelen zur y-Achse rechtwinklig oder gleichschenklig sein kann. Ebenso legen die Jugendlichen durch eine Parallele ein Dreieck, ein Rechteck oder ein Trapez fest, dessen Flächeninhalt maximal sein soll. Sie bestimmen dazu jeweils die Parallelengleichung. Rotiert der Graph der verschobenen Exponentialfunktion, so entsteht ein Rotationskörper, an dem die Lernenden Volumenberechnungen durchführen. Spiegelt man den Graph der Exponentialfunktion mit eingeschränktem Definitionsbereich vertikal an einer Achse parallel zur y-Achse, so entsteht ein Querschnitt mit dem Aussehen eines Dammes. Diesen Querschnitt nutzen die Schülerinnen und Schüler als Modellierung.
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Extremwertprobleme und Flächenberechnungen bei einer Wurzelfunktionenschar (Raabe Fachverlag)
Spielerisches Üben und Wiederholen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr Funktionsuntersuchungen mit der Bestimmung gewisser Eigenschaften des Graphen einer Funktion gehören zu den Standardaufgaben des Analysisunterrichts der Oberstufe. Dies lässt sich um Extremalwertaufgaben erweitern, indem zwischen zwei Graphen Dreiecke, Rechtecke oder Trapeze eingefügt werden, deren Flächeninhalt maximal wird. Ebenso können Graphen den Umriss eines Rotationskörpers bilden, in dem ein Körper wie z. B. ein Kegel mit maximalem Volumen einbeschrieben wird. Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse mit einem GTR/CAS nur approximiert ausgegeben werden kann, werden zur Näherung das Sehnentrapezverfahren und das Simpson-Verfahren vorgestellt. Die Schülerinnen und Schüler lernen: Mithilfe der Eigenschaften zweier Graphen einer Wurzelfunktionenschar werden die zugehörigen Parameter bestimmt. Ebenso soll gezeigt werden, dass die Funktionenschar die vorgegebene Ableitung besitzt, und die Ortslinie der Extrempunkte soll bestimmt werden. Bei der Funktion f1 der Schar wird der Definitionsbereich eingeschränkt und der Graph der Funktion gespiegelt. Zwischen dem Graphen der Funktion f1 , dem an der y-Achse gespiegelten Graphen sowie einer Parallelen zur y-Achse kann ein Dreieck, ein Rechteck oder ein Trapez eingefügt werden, dessen Flächeninhalt maximal sein soll. Zu bestimmen ist jeweils die zur Parallelen gehörige Gleichung. Rotiert der Graph einer Funktion der Wurzelfunktionenschar, so entsteht ein Rotationskörper, an dem Volumenberechnungen durchgeführt werden sollen. Spiegelt man den Graphen einer Funktion f1 der Schar an unterschiedlichen Geraden, so erhält man eine Abbildung, die einem „Kleeblatt“ ähnelt. Da die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f und der x-Achse mit dem GTR/CAS nur näherungsweise ausgegeben wird, lernen die Schülerinnen und Schüler zwei Näherungsverfahren – das Sehnentrapezverfahren und das Simpson-Verfahren – kennen und bestimmen den Flächeninhalt mithilfe dieser beiden Verfahren.
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Ganzrationale, gebrochenrationale und andere Funktionen (Raabe Fachverlag)
Abiturvorbereitung Analysis Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr In diesem Beitrag finden Sie sechs Lernerfolgskontrollen bzw. Selbsttests zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur. Die Aufgaben beschäftigen sich mit verschiedenen gebrochen-und ganzrationalen Funktionen bzw. Funktionenscharen. Aber auch Wurzel-, Logarithmus-und Exponentialfunktionen bzw. -terme werden behandelt. Eine Bearbeitungszeitvorgabe sorgt dabei für realistische Bedingungen. Die Schülerinnen und Schüler lernen: ihr Wissen und Können in abiturrelevanten Aufgaben anzuwenden. Mit den Materialien können die Jugendlichen ihre Fähigkeiten unter Zeitvorgaben testen, das fördert insbesondere auch ihr Zeitmanagement. Lompetenzprofil:
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Rotationskörper: Rationale Funktionen (Raabe Fachverlag)
Klassenarbeit / Test - Mathematik - Gymnasium - Oberstufe Mathe Leistungsüberprüfung 11.-13. Schuljahr In dieser Aufgabensammlung befassen sich die Lernenden mit rationalen Funktionen und Funktionenscharen. Im Rahmen von Kurvendiskussionen bestimmen sie Extrem-und Wendepunkte sowie Tangentengleichungen und zeichnen die Funktionsgraphen. Per Integralrechnung berechnen die Schülerinnen und Schüler schließlich nicht nur Flächeninhalte, sondern auch Volumina, die entstehen, wenn die Graphen um die x-Achse rotieren. Die Schülerinnen und Schüler lernen:
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Jetzt geht's rund - Volumen und Oberfläche von Kugel und Zylinder (Raabe Fachverlag)
Klassenarbeit / Test - Mathematik - Gymnasium - Oberstufe Mathe Leistungsüberprüfung 11.-13. Schuljahr Bei Extremwertaufgaben geht es bekanntlich darum, aus der Menge aller Lösungen diejenige für ein bestimmtes Problem zu ermitteln, die bei Berücksichtigung vorgegebener Bedingungen (Nebenbedingungen) die bestmögliche darstellt. Dabei bietet die Differentialrechnung Untersuchungsmethoden für eine exakte, umfassende und schnelle Analyse solcher Funktionen. Somit spielt sie nicht nur bei der Kurvendiskussion und der Rekonstruktion von Funktionsgleichungen, sondern auch im Rahmen der ...
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Anwendungen der Analysis (Raabe Fachverlag)
Strecke, Fläche und Volumen Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 23 Seiten (0,9 MB) Die Unterrichtseinheit bietet eine Reihe von Textaufgaben, die jeweils durch Bilder unterstützt werden. Es geht um den Zusammenhang zwischen Längen, Flächen und Volumina, und wie unter bestimmten Umständen von einem aufs andere geschlossen werden kann. Dabei ist zunächst vor allem das Verstehen der Aufgabenstellung erforderlich. In vielen der Beispiele geht es um anschauliche Dinge des Alltags, wie einem Sportplatz, einer Brücke oder ein Gefäß, sodass die Schülerinnen und Schüler nicht nur ihr mathematisches Können trainieren, sondern auch ihre Fähigkeiten zur Abstraktion. Die Schülerinnen und Schüler lernen:
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Integralrechnung: Graphen, Flächen und Volumina (Raabe Fachverlag)
Integration - Stromlinienkörper, Symmetrie, Funktions-bestimmung Mathe Materialien Oberstufe Download-Materialien 11.-13. Schuljahr 25 Seiten (0,5 MB) In einer Reihe von Übungsbeispielen beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit der Berechnung von Flächen und Volumina mithilfe der Integralrechnung. Dabei werden nicht nur exakte Berechnungen durchgeführt, in einem Beispiel stehen die Lernenden auch vor der Herausforderung, Intervallgrenzen nur näherungsweise zu bestimmen. Auch der Vergleich zwischen berechneten Flächen und Volumina wird in den Fokus gerückt. Zuletzt führen die Jugendlichen auch Kurvendiskussionen zu gegebenen Funktionen durch und interpretieren die Körper, die entstehen, wenn eine Kurve um die Koordinatenachsen rotiert. Inhaltsverzeichnis:
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Rationale Funktionen und Wurzel, Exponentialfunktionen und Logarithmus (Raabe Fachverlag)
Abiturvorbereitung Analysis Mathe Materialien Oberstufe Download-Materialien 11.-13. Schuljahr 29 Seiten (0,6 MB) Mit sechs Übungstests können Sie den Wissensstand Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Analysis überprüfen und sie auf das schriftliche Abitur vorbereiten. Die Zeitvorgabe und der Bewertungsschlüssel helfen den Lernenden dabei, ihre Fähigkeiten unter realistischen Bedingungen zu erproben. Die Aufgaben decken dabei eine weite Bandbreite verschiedener Funktionen ab – angefangen von einfachen rationalen Funktionen bis hin zum Logarithmus oder dem Arkussinus. Inhaltsverzeichnis:
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Halbkreis, Funktion mit Definitionslücke und Funktionenscharen (Raabe Fachverlag)
Übungstests aus Analysis Mathe Arbeitsblätter 11.-13. Schuljahr 25 Seiten (0,5 MB) Fünf Übungstests unterstützen Sie bei der Leistungsüberprüfung Ihrer Schülerinnen und Schüler oder helfen den Jugendlichen dabei, ihre eigenen Fähigkeiten einzuschätzen. Auch als Vorbereitung auf das schriftliche Abitur eignen sich die Aufgaben. Mit Zeitvorgabe und Bewertungsschlüssel sorgen die Übungsblätter dabei für realistische Prüfungsbedingungen. Inhaltlich decken die Aufgaben ein breites Spektrum der Analysis ab. So untersuchen die Lernenden das Verhalten von Funktionen im Bereich einer Definitionslücke, stellen einen Halbkreis mithilfe einer Wurzelfunktion dar und untersuchen, ob der durch eine Funktion generierte Rotationskörper in eine Kugel passen würde. Inhaltsverzeichnis:
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 weitere Mathe Arbeitsblätter / Übersicht |
| Weiteres Mathe Unterrichtsmaterial: |
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Klasse 5/6 | |
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Mathe Kopiervorlagen (Kohl Verlag) |
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weiteres Mathe Unterrichtsmaterial |
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