Analytische Geometrie (Oberstufe)

Mathe Arbeitsblätter für den abwechslungsreichen Matheunterricht

Bei der Reflexion des Lichts spielt die Richtungsänderung der Strahlen an einer spiegelnden Fläche die entscheidende Rolle. Dem gegenüber steht die Brechung des Lichts, bei der ebenfalls eine Richtungsänderung der Strahlen erfolgt. Die Ursache für diese Richtungsänderung ist aber im Gegensatz zur Reflexion der Übergang des Lichts von einem Medium in ein anderes, z. B. von Luft in Glas oder Wasser bzw. umgekehrt.

Damit gelten bei der Brechung andere Gesetzmäßigkeiten als bei der Reflexion des Lichts.

Bei der Lösung der Aufgaben zur Brechung spielen trigonometrische Betrachtungen
(Winkelbeziehungen) beim Übergang des Lichts zwischen optisch unterschiedlichen Medien eine wichtige Rolle.

KOMPETENZPROFIL:

• Klassenstufe: 10/11/12/13
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, Problemlösekompetenz, Textkompetenz, Zusammenhänge herstellen
• Methoden: Analyse, Bildanalyse, Übung, Experimente und Versuchsaufbau zur Lichtbrechung, Computersimulation, Tafelbild, Unterrichtsgespräch
• Thematische Bereiche: Lichtbrechung, Brechzahl, optisch dünneres/dichteres Medium, Lotgerade, Einfallslot, Einfallswinkel, Brechungswinkel, Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck, Grundbeziehungen
  zwischen den Winkelfunktionen, Rekursionsformeln trigonometrischer Funktionen, Geradengleichung

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Ganzrationale Funktionen mit Parametern

Parabeln und deren Eigenschaften kennen Ihre Schülerinnen und Schüler aus der Mittelstufe. Mit den Methoden der Analysis untersuchen die Jugendlichen Parabelscharen und bilden durch Tangenten bzw. durch Tangente und Normale zusammen mit der x-Achse
Dreiecke. Zu vorgegebenen Winkeln bzw. Flächeninhalten bestimmen die Lernenden die zugehörigen Parameter der Funktionenschar. Gleiches geschieht bei Rotationskörpern, wenn eine Fläche um die x-Achse bzw. um die Symmetrieachse der Parabel rotiert. Die
Bestimmung des Parameters der Funktionenschar wird anwendungsbezogen auf eine herzförmige Fläche bzw. eine Fläche, die die Form eines Platzdeckchens hat, sowie eine „MiniRamp“ übertragen.

Ganzrationale Funktionen mit Parametern

Parabeln und deren Eigenschaften kennen Ihre Schülerinnen und Schüler aus der Mittelstufe. Mit den Methoden der Analysis untersuchen die Jugendlichen Parabelscharen und bilden durch Tangenten bzw. durch Tangente und Normale zusammen mit der x-Achse
Dreiecke. Zu vorgegebenen Winkeln bzw. Flächeninhalten bestimmen die Lernenden die zugehörigen Parameter der Funktionenschar. Gleiches geschieht bei Rotationskörpern, wenn eine Fläche um die x-Achse bzw. um die Symmetrieachse der Parabel rotiert. Die
Bestimmung des Parameters der Funktionenschar wird anwendungsbezogen auf eine herzförmige Fläche bzw. eine Fläche, die die Form eines Platzdeckchens hat, sowie eine „MiniRamp“ übertragen.

In sechs Übungsblättern trainieren die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen in der analytischen Geometrie. Mit einer Zeitvorgabe sowie einem Bewertungsschlüssel lassen sich die Übungen auch im Rahmen von Tests und Leistungsbeurteilungen verwenden.

Die Aufgaben decken ein breites Spektrum aus dem Bereich der analytischen Geometrie ab: Geraden- und Ebenengleichungen, Winkelbestimmungen sowie das Berechnen von Flächen und Volumina. Auch die Bestimmung von Teilverhältnissen, Winkelhalbierenden und Symmetriepunkten ist Teil der Aufgaben.

• Vektorraum und Basis, Punkte und Geraden
• Dreieck, Spiegelpunkt und Ebenenschar
• Pyramide und Trapez
• Pyramide und Doppelpyramide
• Geraden und Ebenen
• Symmetrie, Geradenschar und Winkelhalbierende
• Bewertungsschlüssel
• Lösungen

Eine 3-D Pappfigur, die ein „A“ darstellt, dient als Vorlage für eine stilisierte Variante des Buchstabens. Anhand der Figur bestimmen Ihre Schülerinnen und Schüler die ebenen Koordinaten der Eckpunkte des Buchstabens und übertragen sie in ein geeignetes räumliches Koordinatensystem, um ein aufrecht stehendes „A“ zu bilden.

Durch das Verbinden von geeigneten Punkten des Buchstabens im Raum entsteht das stilisierte Modell, bei dem die Lernenden Winkel, Längen und Abstände mit den Methoden der Analytischen Geometrie untersuchen.

Ein vergrößertes Modell des Buchstabens wird durch einen Bogen verschönert und als Gartendekoration aufgestellt, anhand der die Jugendlichen weitere Untersuchungen mit den Methoden der Analytischen Geometrie durchführen.

• Hinweise
• Abstand windschiefer Geraden
• Aufgaben
• Lösungen

Jede bauliche Struktur lässt sich immer mit den Werkzeugen der Geometrie beschreiben. Es braucht lediglich einige Punkte, Geraden und Ebenen, um eine Vielzahl von Konstruktionen abzubilden.

In diesem Material begleiten die Schülerinnen und Schüler mit ihrem geometrischen Handwerkszeug die Errichtung einer Hundehütte, untersuchen ein Gartenhaus samt Anbau und machen sich Gedanken über den Bau einer Werkstatt. Dabei trainieren sie ihr räumliches Vorstellungsvermögen und lernen, beschreibende Texte in die Sprache der Mathematik zu übertragen.

Die drei Übungsblätter eignen sich zur gemeinsamen Bearbeitung im Unterricht oder als Hausübung, lassen sich aber auch als Tests mit Bewertungsschlüssel und Zeitvorgabe verwenden.

• Hundehütte
• Gartenhaus
• Werkstatt
• Bewertungsschlüssel
• Lösungen

Bauwerke lassen sich sehr gut mit den Werkzeugen der Geometrie beschreiben. Um einen Turm oder ein Haus vereinfacht darzustellen, braucht es nur ein paar Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Die Wände lassen sich als Teil von Ebenen betrachten, deren Schnittgeraden die Ecken und Kanten des Bauwerks abbilden.

In diesem Material untersuchen die Schülerinnen und Schüler einen Turm und ein Haus samt Anbau mit den Werkzeugen der analytischen Geometrie. Sie ergänzen fehlende Punkte auf Basis der vorhandenen Informationen, planen den Materialverbrauch beim Anbringen von Holzverkleidungen und bestimmen den Einfallswinkel von Sonnenstrahlen auf Solarkollektoren.

Die Aufgaben lassen sich gemeinsam im Unterricht lösen, jedoch sind die Übungsblätter auch als Tests samt Zeitvorgabe und Bewertungsschlüssel verwendbar.

• Schlauchturm neben Feuerwehrgerätehaus
• Gebäude mit asymmetrischem Dach und Anbau
• Bewertungsschlüssel
• Lösungen

Skalarprodukte und Vektorprodukte sind wichtige mathematische Konzepte mit breiter Anwendung. Motivieren Sie die Lernenden, indem Sie reale Beispiele nutzen, um diese Konzepte zu erklären und anzuwenden. Das fördert nicht nur ihr Verständnis, sondern stärkt auch ihre Fähigkeiten in der Anwendung der linearen Algebra. Erklärvideos bieten Hilfestellung beim Verständnis und fördern zusammen mit Tipps die Lernenden individuell.

Als kreative und motivierende Lernerfolgskontrolle steht ein Kahoot-Quiz zur Verfügung.

Was der Mensch errichtet, lässt sich praktisch immer mit den Werkzeugen der Geometrie beschreiben. Mit einigen Punkten, Geraden und Ebenen lässt sich bereits eine Vielzahl an architektonischen Konzepten abbilden.

In diesem Material untersuchen die Schülerinnen und Schüler ein Festzelt, einen Pavillon sowie die verschiedenen Varianten eines Dachs mit den Werkzeugen der analytischen Geometrie. Sie bestimmen beispielsweise fehlende Punkte und berechnen Schnittwinkel, Flächen und Volumen. Dabei trainieren sie ihr räumliches Vorstellungsvermögen und lernen, beschreibende Texte in die Sprache der Mathematik zu übertragen.

Die drei Übungsblätter eignen sich zur gemeinsamen Bearbeitung im Unterricht oder als Hausübung, lassen sich aber auch als Tests mit Bewertungsschlüssel und Zeitvorgabe verwenden. In einem Fall bietet der Umfang der Aufgaben auch die Möglichkeit einer zweistündigen Klausur.

• Festzelt
• Pavillon
• Verschiedene Dachvarianten
• Bewertungsschlüssel
• Lösungen

Drei Übungsblätter bieten eine Reihe von Aufgaben, in denen es sich um Kugeln in Verbindung mit Dreiecken oder auch mit Kegeln dreht. Dabei werden Schnittpunkte, Schnittkreise, Schnittwinkel bestimmt sowie Flächen und Volumina berechnet. Beim Arbeiten im dreidimensionalen Koordinatensystem trainieren die Schülerinnen und Schüler auch ihr räumliches Vorstellungsvermögen.

• Kugeln
• Kugeln und Dreiecke
• Kugeln und Kegel
• Lösungen

Eine schiefe Pyramide ist ein recht einfach erscheinender Körper, der aber dennoch eine Vielzahl an Möglichkeiten bietet, Kenntnisse und Fertigkeiten vorwiegend aus der Analytischen Geometrie anzuwenden. Auch Ausflüge in die Analysis und in die Kombinatorik sind gegeben.

Die vielfältigen Aufgabenstellungen bieten gute Herausforderungen, etwa in der Prüfungsvorbereitung, die Lernenden an die Bearbeitung komplexer Aufgaben heranzuführen bzw. diese üben zu lassen.

• Hinweise
• Konstruktion der Pyramide
• Analyse der Pyramide
• Lernerfolgskontrolle
• Lösungen

In dieser Unterrichtseinheit finden Sie Klausuren für den Grund- bzw. Leistungskurs zur Bearbeitung ohne (hilfsmittelfrei) und mit dem GTR bzw. CAS aus den Bereichen Analysis, Analytische Geometrie und Stochastik. Die Bearbeitung der Klausuren soll zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur dienen. Eine Bepunktung der einzelnen Aufgaben, eine Bearbeitungszeitvorgabe sowie ein Bewertungsraster sorgen dabei für realistische Bedingungen.

• Klassenstufe: 12/13
• Dauer: 180 für den GK bzw. 255 Minuten für den LK
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
• Inhalt:
  • Analysis: Funktionsuntersuchung einer ganzrationalen Funktionenschar und einer Exponentialfunktion, Integralrechnung
  • Analytische Geometrie: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte, Lagebeziehungen und Abstände, Skalarprodukt und dessen Anwendung

Die Unterrichtseinheit bietet Ihnen drei Aufgaben aus dem Bereich der Analytischen Geometrie an, bei denen Kugeln und die Kugeln berührende Ebenen im Mittelpunkt stehen. Da der Kugelradius senkrecht auf der berührenden Ebene (Tangentialebene) im Berührpunkt B auf dem Radius steht, spielt der Normalenvektor bei der Lösung der Aufgaben eine entscheidende Rolle.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

ihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der Analytischen Geometrie im räumlichen Koordinatensystem sicher anzuwenden. Sie bestimmen Mittelpunkte und Radien von Kugeln, jeweils den Berührpunkt von Kugel und Ebene sowie die Gleichungen der berührenden Ebenen.

• Inhalt: Kugel, Tangentialebene, Normalenvektor, Ebenengleichung (Parameterform, Koordinatenform, Hessesche Normalenform), Geradengleichung (Zwei-Punkte-Form, Punkt-Richtungs-Form), winkelhalbierende Ebene, Winkel zwischen zwei Ebenen, Schnittpunkt mit Ebenen, Abstand von Punkten, Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck, Satz des Pythagoras, Würfel, Kegel (Volumen, Oberfläche)

Am Beispiel eines Flugzeugs und eines Balls betrachten die Schülerinnen und Schüler eine geradlinige, gleichförmige Bewegung. Anhand vorgegebener Positionen des Flugzeugs treffen sie Vorhersagen darüber, zu welchen Zeitpunkten es andere Punkte erreichen und wie hoch es dabei fliegen wird. Ferner untersuchen die Lernenden, welchen Weg ein geworfener Ball in einem quaderförmigen Raum zurücklegt. Dabei muss auch das Abprallen an den Wänden in die Überlegungen mit einbezogen werden.

• Mathematische Betrachtung von gleichförmigen und geradlinigen Bewegungen
• Räumliches Vorstellungsvermögen
• Geradengleichung

• Inhalt: geradlinige Bewegung, gleichförmige Bewegung, Geradengleichung, Skizzen anfertigen, Abstandsberechnungen, Reflexion
• Medien: GTR/CAS

Rätsel üben auf Kinder und Jugendliche eine ganz eigene Faszination aus. Dieser Beitrag stellt die Schülerinnen und Schüler vor die Herausforderung, einen Lösungssatz in einem Buchstabennetz zu finden. Zur Lösung dieser Aufgabe ist es nötig, Schnittpunkte von geometrischen Objekten zu bestimmen. Unterstützt vom motivierenden Aspekt von Rätseln festigen die Jugendlichen hierbei ihre Kenntnisse im Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen sowie – sofern die Lösung nicht mit einem GTR erfolgt – im Lösen von (unterbestimmten) Gleichungssystemen.

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Die Unterrichtseinheit betrachtet die Reflexion von Laser- oder Lichtstrahlen an einer ebenen oder gekrümmten Fläche aus Sicht der Analytischen Geometrie. Es beginnt mit einer kurzen Einführung in das Reflexionsgesetz. Licht- und Laserstrahlen lassen sich in Form von Geradengleichungen beschreiben, für die reflektierenden Flächen kommen Ebenen und Kugeln zum Einsatz. Im Rahmen einiger Übungsaufgaben ...

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Die Entwicklung von modernen Computerspielen ist ohne fortgeschrittene Konzepte der linearen Algebra undenkbar. Ausgehend von unterschiedlichen Anforderungssituationen im Bereich der Spieleentwicklung erarbeitet Ihre Klasse die Spiegelung einer Geraden an einer Ebene. Das Material bietet so einen motivierenden Anwendungsbezug für die Lernenden. Überdies bieten verlinkte Erklärvideos und ausgearbeitete LearningSnacks Hilfen und Tipps und unterstützen Sie dadurch beim differenzierten Unterrichten.

• Klassenstufe: Sek II
• Dauer: 6-7 Unterrichtsstunden (Minimalplan 2)
• Inhalt: Parameterdarstellung von Ebenen, Schnittpunktberechnung von Gerade und Ebene, Abstandsberechnung Punkt und Ebene
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren
• Zusatzmaterialien: Einstiegsvideo

Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Interaktive Simulationen eignen sich im Mathematikunterricht zur Visualisierung von Problemstellungen und Zusammenhängen. Durch die Möglichkeit zum Experimentieren können die Schülerinnen und Schüler so eine inhaltliche Vorstellung für die Verknüpfung von zwei oder mehr Vektoren entwickeln. Insbesondere kann die Auswirkung der skalaren Multiplikation direkt erkannt und so eine geeignete inhaltliche Vorstellung aufgebaut werden. Auf die gleiche Weise ist es möglich, eine Grundvorstellung für das Lösen von Vektorgleichungen auf der enaktiven und ikonischen Ebene zu entwickeln, bevor das symbolische Kalkül entwickelt wird.

• Klassenstufe: Sek. II
• Dauer: 2–3 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Vektor, Addition, Multiplikation, Skalar, Linearkombination
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen (K2), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)
• Methoden: Entdeckendes Lernen; Arbeiten mit Simulationen

In der Unterrichtseinheit lernen Ihre Schülerinnen und Schüler ihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der analytischen Geometrie im räumlichen Koordinatensystem sicher anzuwenden. Sie berechnen die Innenwinkel und den Flächeninhalt von Rechtecken und Dreiecken sowie das Volumen einer Pyramide. Sie ermitteln im Anwendungsbezug die Winkel zwischen Flächen, zwischen Geraden und Flächen bzw. zwischen Geraden und Geraden. Die Lernenden bestimmen mithilfe vorgegebener bzw. berechneter Längen die Koordinaten weiterer Punkte. Sie bestimmen den Abstand von einem Punkt zu einer Geraden bzw. Fläche sowie den Abstand zwischen windschiefen Geraden.

Die Aufgaben enthalten eine Vielzahl der Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler im Bereich analytische Geometrie vor dem Abitur verfügen sollten. Sie eignen sich daher gut zur Vorbereitung auf das Abitur.

Die Unterrichtseinheit eignet sich optimal für einen entdeckenden Einstieg in das Thema „Addition von Vektoren“. Mithilfe einer interaktiven Simulation und strukturierten Forschungsaufträgen untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler innermathematisch die Eigenschaften der Vektoraddition.

Durch die Möglichkeit zum Experimentieren können die Schülerinnen und Schüler so eine inhaltliche Vorstellung für die Verknüpfung von zwei oder mehr Vektoren entwickeln.

• Klassenstufe: Sek. II
• Dauer: 1–2 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Vektoren, Vektoraddition Kompetenzen: mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)
• Methoden: Entdeckendes Lernen; Arbeiten mit Simulationen

Ready to take off? – Bevor die neue Flugroute genehmigt wird, muss sicher sein, dass sie von keinem anderen Flugzeug zur gleichen Zeit gekreuzt wird!

Und hier kommen Ihre Schülerinnen und Schüler als Vertreter der Flugsicherungsgesellschaft ins Spiel. Sie betrachten in Gruppen die mögliche Lage zweier geradliniger Flugbahnen: Haben sie einen Schnittpunkt? Sind sie identisch, parallel oder windschief? Erst nach Berechnung und praktischer Überprüfung im dreidimensionalen Koordinatensystem kann entschieden werden, ob die Starterlaubnis erteilt wird.

• Klasse: 12 (im G 8: Klasse 10)
• Dauer: 5 Stunden
• Inhalt: Geraden im dreidimensionalen Raum, Stützvektor, Richtungsvektor, Spurpunkte, mögliche Lagen zweier Geraden im Raum
• Ihr Plus: Gruppenarbeit zur gegenseitigen Lage zweier Geraden im Raum

Wählt man für den Parameter bei einer Punkte-, Geraden- oder Ebenenschar einen gültigen Zahlenwert, so erhält man genau einen Punkt, eine Gerade oder eine Ebene. Im Beitrag überprüfen die Schülerinnen und Schüler die Lagebeziehung von Punkten der Schar zu einer Geraden bzw. zu einer Ebene oder von Geraden einer Schar zu einer Ebene. Die Lernenden bestimmen den Parameter so, dass bestimmte Eigenschaften wie die Gleichschenkligkeit von Dreiecken erfüllt sind. Die Bestimmung des Parameters kann zu einem Extremwertproblem führen, bei dem die Zielfunktion aus einer Funktion besteht, die selbst aus einer Betragsfunktion und einer Wurzelfunktion verkettet ist. Mit den Methoden der Analysis ermitteln die Jugendlichen hierbei das Extremum. Insbesondere bei den Extremwertaufgaben können die Auswirkungen unterschiedlicher Parameterwerte altersgerecht veranschaulicht werden.

Die Schüler lernen: ihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der analytischen Geometrie im räumlichen Koordinatensystem sicher anzuwenden. Sie berechnen die Innenwinkel und den Flächeninhalt von Dreiecken sowie das Volumen einer Pyramide. Die Lernenden untersuchen die Lagebeziehung von Punkten zu Geraden und Ebenen bzw. von Geraden und Ebenen. Ebenso berechnen sie den Schnittwinkel von Gerade und Ebene bzw. den Schnittwinkel von zwei Ebenen. Sie lösen Abstandsprobleme und bestimmen mit den Methoden der Analysis Extremwertprobleme, die sich aus der Winkel- oder Abstandsberechnung ergeben.

Die Aufgaben fördern eine Vielzahl der Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler in den Bereichen analytische Geometrie und Analysis vor dem Abitur verfügen sollten. Sie eignet sich daher auch gut zur Vorbereitung auf das Abitur.

In der Entwicklung von Computerspielen bilden Vektoren das Grundgerüst für die Grafik und die Beschreibung von Bewegungen. Lassen Sie Ihre Schülerinnen und Schüler ausgehend von diesem Anwendungsbeispiel im Unterricht Grundkonzepte wie die vektorielle Parameterdarstellung von Geraden anschaulich und realitätsbezogen erarbeiten und vertiefen.

• Klassenstufe: Sek. II
• Dauer: 4 Unterrichtsstunden (Minimalplan 2)
• Inhalt: Parameterdarstellung, Geraden, Vektoren, Länge von Vektoren
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Trockene Geometrie war gestern – mit diesem Beitrag treffen Sie den Nerv der jungen Generation und nutzen das volle Potenzial unserer digitalen Welt. Die Jugendlichen setzen hier z. B. ihr Smartphone ein, um Geometrieprobleme rund um das Scherengitter mit dynamischer Geometriesoftware zu lösen. Ein übersichtliches, einleitendes Beispiel gibt ihnen dazu das Wissen und die Werkzeuge an die Hand, sodass auch Lernschwächere nicht auf der Strecke bleiben. Ihre Klasse lernt den Umgang mit Geometriesoftware kennen, modelliert eigenständig und begreift durch Simulationen komplexere Bewegungen.

• M 1 Bau eines Modells
• M 2 Simulation mit dynamischer Geometriesoftware
• M 3 Untersuchung von Scherengittern
• M 4 Aufgaben
• M 5 Sind Sie fit? – Testen Sie Ihr Wissen!
• Lösungen

• an einem Alltagsgegenstand geometrische Eigenschaften der Raute und besonderer Punkte auf ihr kennen,
• ihr Können und Wissen über den Pythagoras, über Geradengleichungen, über vektorielle Beziehungen und Eigenschaften von Dreiecken anzuwenden,
• Parameterdarstellungen geometrischer Objekte aufzustellen,
• Ortskurven von Bahnpunkten aufzustellen und zu interpretieren,
• Kreisgleichungen und Ellipsengleichungen kennen.

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler ihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der analytischen Geometrie im räumlichen Koordinatensystem sicher anzuwenden. Dabei müssen sie aus zwei Punkten oder aus einem Punkt und einem Richtungsvektor eine Geradengleichung aufstellen und untersuchen, welche Lage zwei Geraden zueinander haben. Bei zwei sich schneidenden Geraden untersuchen sie zudem, ob sich die Geraden unter einem rechten Winkel schneiden.

In der Ebene können zwei Geraden sich schneiden oder sie können echt parallel verlaufen bzw. identisch sein. Im Raum kommt noch eine zusätzliche Lage hinzu; die Geraden können windschief verlaufen. Im Beitrag untersuchen die Schülerinnen und Schüler die Lage von zwei Geraden im Raum. Dazu müssen sie die Geradengleichung teilweise aus zwei Punkten oder aus einem Punkt und dem Richtungsvektor der Geraden herleiten. Bei zwei sich schneidenden Geraden untersuchen die Lernenden zusätzlich, ob sich die Geraden unter einem rechten Winkel schneiden. Da eine Kontrolle der Ergebnisse mithilfe einer App möglich ist, bei der die Jugendlichen die Geradenpaare und ihre Lage einander zuordnen, eignet sich der Beitrag auch sehr gut zur Freiarbeit.

Die Unterrichtseinheit bietet Beispiele und Aufgaben (mit Lösungen) zum Thema „Skalarprodukt“ an. Es geht darum, dass die Schülerinnen und Schüler das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen, geometrisch interpretieren und bei Berechnungen sicher anwenden können. Mithilfe des Skalarprodukts ist es z. B. möglich, den Abstand eines Punktes von einer Geraden, den Schnittwinkel zweier Geraden oder den geringsten Abstand zweier windschiefer geradliniger Flugbahnen zu berechnen. Geeignet für die Oberstufe (grundlegendes und erhöhtes Niveau).

• Hinweise
• M 1 Grundlagen
• M 2 Skalarprodukt in Koordinatenform berechnen
• M 3 Skalarprodukt in Kosinusform berechnen
• M 4 Vektoren auf Orthogonalität prüfen
• M 5 Vektor finden, der senkrecht zu zwei Vektoren ist
• M 6 Winkel zwischen Vektoren berechnen
• M 7 Beweise mithilfe des Skalarprodukts
• M 8 Abstand eines Punktes von einer Geraden
• M 9 Abstand windschiefer Geraden
• Lösungen

Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, Kollinearität und Komplanarität von Vektoren und Lagebeziehungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen – mit diesem Stationenzirkel / Lernzirkel / Stationenlernen bereiten sich Ihre Schüler ideal auf das Abitur vor. Die Übungsaufgaben variieren im Schwierigkeitsgrad. Sie können sie im Sinne einer Binnendifferenzierung gezielt einsetzen, um sowohl leistungsschwächere als auch leistungsstärkere Schüler ideal zu fördern.

• Hinweise
• M 1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) – Info
• M 2 Verfahren zum Lösen eines LGS – Info
• M 3 Einsetzungsverfahren
• M 4 Gleichsetzungsverfahren
• M 5 Additions- bzw. Subtraktionsverfahren
• M 6 LGS in Matrix-Vektor-Form
• M 7 Das Gauß-Verfahren – Info
• M 8 Das Gauß-Jordan-Verfahren
• M 9 Wiederholung zu LGS
• M 10 Kollinearität und Komplanarität
• M 11 Komplanarität
• M 12 Wiederholung zu Kollinearität und Komplanarität
• M 13 Lagebeziehungen zw. Punkten, Geraden und Ebenen
• M 14 Wiederholung zu Lagebeziehungen
• Stationenzirkel (4 Stationen als LEKs)
• Tippkarten zum Stationenzirkel
• Lösung Wiederholungsaufgaben
• Lösung Stationenzirkel

In der Unterrichtseinheit für die Sekundarstufe II (Abiturvorbereitung) weisen Ihre Schüler die Kongruenz von Dreiecken nach und trainieren in diesem Zusammenhang den Umgang mit Vektoren, wie beispielsweise die Berechnung der Vektorlänge und die Bestimmung eines Winkels zwischen zwei Vektoren mit Hilfe des Skalarproduktes. Zusätzlich bestimmen die Lernenden Schnittpunkte von Geraden und üben hierbei das Lösen von linearen Gleichungssystemen.

• Inhalt:
  • kongruente und ähnliche Dreiecke
  • Mittelsenkrechte
  • Schnittpunkt von Geraden
  • Abstand von Punkten
  • Schnittwinkel
  • zentrische Streckung
  • Drehung, Drehstreckung
  • Kreisgleichung
• Medien: GTR/CAS; GeoGebra
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen (
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Wie entstehen eigentlich Flächenformeln? Denkt sich die jemand einfach aus? Und warum funktionieren sie manchmal nur für bestimmte Fälle und für andere nicht? In der Unterrichtseinheit beantworten sich die Schüler diese Fragen selbst, indem sie sich intensiv mit Trapezen und den Möglichkeiten der Vektorrechnung auseinandersetzen. Richtiges Tüfteln, kreative Ansätze und synergistisches Zusammenarbeiten sind gefragt.

• Inhalt: Flächenformeln für Trapeze herleiten, Vektorrechnung: Betrag eines Vektors, Skalar- und Kreuzprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren, Geradengleichungen in Parameterform
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematisch kommunizieren

In der Unterrichtseinheit für die Sekundarstufe II und somit für das Abitur relevant, trainieren Ihre Schüler das Konstruieren von Bildpunkten, Schatten sowie Entfernungen und üben hierbei das mathematische Problemlösen.

• Inhalt:
  • Fluchtpunkt
  • Bildebene
  • Horizont
  • Standpunkt
  • Berechnung und Konstruktion von Bildpunkten
  • Konstruktion von Schatten
  • Entfernungen konstruieren.
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Obwohl sich die Quadrate nur an einem Punkt berühren, entstehen geheimnisvolle Zusammenhänge. Die Geometrie überrascht immer wieder mit ihrer eigenen Schönheit und lässt Staunen. Schritt für Schritt lösen die Lernenden die Rätsel rund um die Eigenschaften von zwei sich berührenden Quadraten, mit den Werkzeugen der Algebra, analytischen Geometrie oder auch mithilfe von CAS.

• Inhalt: Quadrate, Nachweisstrategie, Gleichungssysteme, Geradengleichungen, Satz des Pythagoras
• Medien: Taschenrechner, CAS-Rechner
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematisch kommunizieren

Musik und Mathematik haben vieles gemeinsam! Mit den folgenden Arbeitsmaterialien lernen Ihre Schüler, wie man mithilfe von Vektoren kleine Musikstücke selbst komponiert. Natürlich sollen die Stücke auch gespielt werden, z. B. auf dem Xylofon oder einem virtuellen Klavier im Internet.

• Klassenstufe: 11 (G8), 12 (G9)
• Dauer: 5 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), kommunizieren (K6)
• Thematische Bereiche: Vektoren, Matrizen, Spiegelungen, Verschiebungen, Koordinatendarstellung für geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum, Ausführen elementarer Operationen mit geometrischen Vektoren
• Medien: Xylofon, virtuelles Klavier, Metronom, OHP-Folie, Plakate, 22 Audio-Dateien

Vn den Übungsklausuren lernen die Schülerinnen und Schüler ihr bereits vorhandenes Wissen über Geradengleichungen und Lagebeziehungen von Gerade zu Gerade sowie Abstandsberechnungen von Geraden anzuwenden.

Die Aufgaben unterscheiden sich von den üblichen Aufgaben zu diesem Themengebiet dadurch, dass sie in einen schlüssigen Anwendungskontext eingebettet sind. Das motiviert vielleicht auch den einen oder anderen Schüler, für den Geradengleichungen und Lagebeziehungen sonst nur „graue Theorie“ sind. Eine Binnendifferenzierung können Sie durch verschiedene Lösungsvarianten der Aufgaben ermöglichen.

Die Lösungen sind ausführlich gehalten, sodass sich das Material zum Selbststudium eignet.

Drei Flugzeuge sind auf unterschiedlichen Routen unterwegs. Damit sie nicht im Luftraum kollidieren, müssen die Flugzeuge bestimmte Sicherheitsabstände als Minimum einhalten. Daher überprüfen Flugsicherungseinrichtungen diese Abstände ständig. In diesem Beitrag berechnen Ihre Schüler unter anderem diese Abstände mit den Mitteln der analytischen Geometrie. Sie wiederholen darüber hinaus die Themen Geradengleichungen und Lagebeziehungen von Gerade zu Gerade in diesem spannenden Kontext.

• Hinweise (Informationen und Modellierung)
• Aufgaben
• Lösungen

En Hobbyschmied möchte in seiner Heimwerkstatt in einer Mauerecke über einer Schmiedebank eine Abzugshaube anbringen. Bei dieser praktischen Anwendungsaufgabe bestimmen die Lernenden Abstände, Schnittmengen, Schnittwinkel sowie Flächeninhalte und Volumina elementargeometrisch und mithilfe der Vektorrechnung.

• Ihr bereits vorhandenes Wissen über Vektoren, Geraden- und Ebenengleichungen, Abstands- und Schnittwinkelberechnungen zwischen Ebenen sicher anzuwenden. Mithilfe der Vektorrechnung nehmen sie Flächen- und Volumenberechnungen vor.
• Eine Binnendifferenzierung wird durch Teillösungen sowie verschiedene Lösungsvarianten der Aufgaben ermöglicht.

Nehmen wir einmal an, die Eiskugeln schmelzen. Dann ist die kegelförmige Eistüte mit Wasser gefüllt. Oder konkreter: Was passiert mit dem Wasserspiegel, wenn man die Inkugel aus einem auf der Spitze stehenden, vollständig mit Wasser gefüllten Kegel entfernt? Versucht man dieses oder ähnliche Probleme zu lösen, sind verschiedene Teilgebiete der Mathematik hilfreich. So können beispielsweise Kenntnisse aus elementarer Geometrie, analytischer Geometrie oder der Analysis hier vernetzt werden.

• Mathematische Modelle für ein reales Problem aufzustellen,
• überschaubare mehrschrittige Argumentationen und logische Schlüsse zu entwickeln,
• Strategien zur Lösung eines komplexeren Problems anzuwenden,
• verschiedene Lösungswege zu beurteilen,
• digitale Mathematikwerkzeuge auszuwählen.

In diesem Beitrag stellen Ihre Schülerinnen und Schüler Berechnungen zu Schlägerhaltungen, Ballpositionen und Flugbahnen des Balls an. Dabei trainieren sie das Aufstellen von Geraden- und Ebenengleichungen sowie das Lösen von Gleichungssystemen.

Diese Aufgabe ist fern jeder Realität, aber vielleicht eine Aufgabe, die zu interessanten mathematischen Überlegungen motiviert.

Es geht um Tischtennis, also um eine Sportart mit ausgesprochen schnellen Bewegungen, Reaktionen und Bewegungsabläufen von Spielern und Ball. Dabei wird niemand auch nur ansatzweise auf die Idee kommen, während eines solchen Spiels Berechnungen zu Schlägerhaltung, Ballposition oder gar der Flugbahn des Balls anzustellen.

Und dennoch soll diese Aufgabe Anregung für Unterrichts-, Zirkel- und/oder Projektarbeit mathematikinteressierter Schülerinnen und Schüler sein, die analytische Geometrie auch einmal unter dem Blickwinkel einer Ballsportart zu betrachten.

• einfallende Bewegungsrichtung, Einfallslot und reflektierte Bewegungsrichtung liegen in einer Ebene
• einfallende Bewegungsrichtung und reflektierte Bewegungsrichtung bilden mit dem Einfallslot gleiche Winkel = Reflektionswinkel Da es sich bei dem Tischtennisball, der Tischtennisplatte und dem Tischtennisschläger (abgesehen von dem dünnen elastischen Belag des Holzschlägers-Kork oder Gummi) um annähernd starre Gebilde handelt, können diese Voraussetzungen vereinfachend als gegeben angesehen werden.

Mutterländer dieses Spiels sind Japan und China, 1880 wurde Tischtennis in England bekannt und verbreitete sich von dort über Europa.

Der Ball ist aus Zelluloid; die Platte aus Sperrholz (274,3 cm x 152,5 cm); die Netzhöhe 15,25 cm.

• Inhalt: Geradengleichung, Ebenengleichung, Gleichungssystem, Normalenvektor, Spiegelung, Betrag eines Vektors, Skalarprodukt, Durchstoßpunkt, Punktkontrolle, räumliches Koordinatensystem
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5)

Die Schüler werden mit einer sauberen Beweisführung (Skizze, Voraussetzungen, Behauptung und Beweisschritten) vertraut gemacht. Sie beweisen dadurch elementargeometrische Eigenschaften von verschiedenen Vierecken mithilfe von einfacher Vektorrechnung. Der Beitrag beinhaltet zudem eine kleine, auf den Beitrag abgestimmte Formelsammlung.

• Inhalt: Elementargeometrie, orthogonal, Fußpunkt, Skalarprodukt, Viereck, Trapez, Raute, Drachenviereck, Parallelogramm, Diagonalen, Mittelpunkt, Innenwinkel, Parameterform (Gerade), Mittellinie, Mittenviereck, Voraussetzung, Behauptung, Beweis
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematisch modellieren (K 3), mathematische Darstellungen verwenden (K  4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

In diesem Beitrag trainieren Ihre Schüler unter anderem das Aufstellen von Geradengleichungen, das Anwenden der

Hesse-Form zur Abstandsbestimmung eines Punktes zu einer Ebene und das Berechnen des Pyramidenvolumens.

• Inhalt:* Ebenen und ihre gegenseitige Lage; Kugeln, Tangenten und Tangentialebenen; Pyramidenvolumen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren (K 1), Probleme mathematisch lösen (K 2), mathematische Darstellungen verwenden (K 4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K 5), mathematisch kommunizieren (K 6)

ynamische Geometriesoftware macht Geometrie lebendig. Eigenschaften von Dreieckstransversalen können so schon in der Mittelstufe sehr anschaulich vermittelt werden. Oft bleibt man jedoch in dieser Jahrgangsstufe bei der Betrachtung von Ortskurven stehen. In der Oberstufe eignen sich die Schüler Verfahren der analytischen Geometrie an. Diese bilden die Grundlage, mit der die Lernenden das Thema Dreieckstransversalen tiefer durchdringen können. So stellen sie Gleichungen von Ortskurven markanter Punkte auf und setzen Computeralgebrasysteme ein, um den Rechenaufwand zu minimieren. Die Verknüpfung digitaler Mathematikwerkzeuge mit der analytischen Betrachtung der Ortskurven von Dreieckstransversalen bildet den Schwerpunkt dieses Beitrages.

• Ortskurven von Dreieckstransversalen
• M 1 Wiederholen Sie das Thema „Dreieckstransversalen“!
• M 2 Gleichungen eines Kreises
• M 3 Ortskurve des Schnittpunktes M der Mittelsenkrechten
• M 4 Aufgaben zur Übung
• M 5 Variationen der Aufgabenstellung
• M 6 Sind Sie fit? – Testen Sie Ihr Wissen!
• M 7 Folie zu M 4 und M 5
• Hinweise und Lösungen

• Eigenschaften von Dreieckstransversalen wiederholend kennen,
• Gleichungen eines Kreises in kartesischen Koordinaten sowie in vektorieller Form zu verstehen und anzuwenden,
• Geradengleichungen für Dreieckstranversalen aufzustellen,
• Verfahren zu Schnittpunktsberechnungen anzuwenden,
• Gleichungen von Ortskurven aufzustellen und zu interpretieren,
• Kreise, Parabel und Gerade als Leitlinie zu benutzen,
• ihre Kenntnisse im Umgang mit dynamischer Geometriesoftware und einem Computeralgebrasystem zu vertiefen (hier mit TI-Nspire CX CAS).

Bei einem „gedrehten“ Pyramidenstumpf bestimmen die Schülerinnen und Schüler die Eckpunkte der Deckfläche, untersuchen den Körper auf Symmetrie, beschreiben die Mantelfläche und berechnen den Winkel zwischen der Grund- bzw. Deckfläche und den Dreiecken der Mantelfläche. Der Körper wird durch eine Ebenenschar parallel zur Grundfläche geschnitten.

Abhängig vom Scharparameter bestimmen die Lernenden die Eckpunkte der Schnittfläche und untersuchen diese hinsichtlich Regelmäßigkeit und Größe. Ebenso berechnen sie das Volumen des „gedrehten“ Pyramidenstumpfes, indem sie einerseits den Körper in Teilkörper zerlegen und andererseits mit den Methoden der Analysis über die Schnittflächen integrieren.

Was sind Ebenen in der analytischen Geometrie? Wie definiert man sie und welche Informationen reichen aus, um sie eindeutig bestimmen zu können? Diese und weitere Fragen über mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen oder einer Ebene und Gerade behandelt dieser Beitrag ausführlich in Theorie und Praxis. Durch zahlreiche Beispiele und Aufgaben entwickeln die Lernenden ein tiefes Verständnis für die Parameterform der Ebene und Gerade.

• Inhalt: Umgang mit Ebenengleichungen in Parameterform
• Medien: Taschenrechner, CAS-Rechner
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, mathematisch kommunizieren

In den Übungen lernen die Schülerinnen und Schüler ihr bereits vorhandenes Wissen über Vektoren, Geraden- und Ebenengleichungen, Abstandsberechnungen und Berechnung von Schnittwinkel zwischen Ebenen an einem praktischen Beispiel anzuwenden. Die Lösungen sind ausführlich gehalten, sodass sich die Materialien zum Selbststudium eignen.

An einer Hauswand ist über der Eingangstür ein Vordach, ähnlich dem obigen Foto, angebracht. Das Kantengerüst des Vordachs ist aus Stahlrohren und die Abdeckung aus Acrylglas gefertigt. Bei dieser praktischen Anwendungsaufgabe bestimmen die Lernenden Abstände, Schnittmengen, Schnittwinkel sowie Flächeninhalte elementargeometrisch und mithilfe der Vektorrechnung. Eine Binnendifferenzierung können Sie durch Teillösungen sowie verschiedene Lösungsvarianten der Aufgaben ermöglichen.

• Informationen und Modellierung
• Aufgaben
• Lösungen

Dieser Oberstufenbeitrag beinhaltet zwei Problemstellungen, welche Extremwertprobleme mit anschaulichen Geometrien verbinden. Sie vertiefen das Wissen Ihrer Schülerinnen und Schüler im Bereich der Differentialrechnung mithilfe von lebensnahen Rechenbeispielen.

Bereiten Sie Ihre Klasse mit angewandten Fragestellungen ideal auf die Abiturprüfung vor.

• Inhalt: Flächeninhalt, Geometrische Formen, Erste und Zweite Ableitung, Extremwertprobleme
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden

Mit einem traditionellen Weihnachtsschmuck aus Skandinavien, dem „Himmeli“, verbessern die Lernenden in dieser Unterrichtseinheit besonders ihr räumliches Vorstellungsvermögen. In vielfältigen Aufgaben und Problemstellungen wenden sie ihr Können und Wissen der analytischen Geometrie an und bestimmen etwa Schnittpunkte, Schnittwinkel und Abstände zwischen Geraden und Ebenen.

• Methodisch-didaktische Anmerkungen
• M 1 Das Kantenmodell eines Himmeli
• M 2 Aufgaben
• M 3 Das Himmeli – Farbfolie
• Lösungen

Die Schüler lernen:

ihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der analytischen Geometrie im räumlichen Koordinatensystem sicher anzuwenden. Dabei müssen sie sich verschiedene Strecken und Flächen in Sechseckpyramiden und -stümpfen vorstellen und unter anderem Schnittpunkte, Schnittwinkel und Abstände von Geraden und Ebenen bestimmen.

Das vorliegende Konzept steht unter dem Leitgedanken „Planung, Messung und Verknüpfung von Strecken und Routenplanung in Streckennetzen“. Straßenkarten (und digitale Dateien für die GPS-gesteuerte Navigation) dienen zur Orientierung im Alltag. Die Methoden der analytischen Geometrie (und Graphentheorie) ermöglichen eine analytische Untersuchung dieser Thematik.

• Klassenstufe: 11/12 (G8), 11–13 (G9)
• Dauer: 6–8 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen:
  • Mathematisch argumentieren
  • Probleme mathematisch lösen
  • Mathematisch modellieren
  • Mathematische Darstellungen verwenden
  • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (
  • Kommunizieren
• Thematische Bereiche: Mathematik, Geografie, Verkehrslehre, Physik
• Medien: Texte, 1 Farbfolie, Bilder
• Zusatzmaterialien: Anhang, Excel-Datei

In diesen Übungen und Arbeitsblättern beschäftigen sich Ihre Schüler mit der Dichtefunktion. Sie weisen beispielsweise für die gegebene Funktion nach, dass es sich tatsächlich um eine Dichtefunktion handelt und berechnen den Erwartungswert.

• Inhalt:
  • Dreiecksverteilung
  • lineare Funktion
  • Stammfunktion
  • Integral
  • Flächeninhalt von Dreieck und Trapez
  • Erwartungswert
• Medien: evtl. zur Veranschaulichung Euklid DynaGeo oder GeoGebra
• *Kompetenzen: *
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Unterrichtseinheit beinhaltet Beispiele und Aufgaben (mit Lösungen) zum Thema „Vektorprodukt“. Kenntnisse über das Vektorprodukt erleichtern viele Rechnungen z.B. in der analytischen Geometrie. Darüber hinaus stärken sie das geometrische Vorstellungsvermögen. Anliegen des Beitrages ist es, dass die Schülerinnen und Schüler das Vektorprodukt zweier Vektoren berechnen, geometrisch interpretieren und bei Aufgaben sicher anwenden können. Den Abschluss bildet ein Vorschlag für eine Lernerfolgskontrolle.

• M 1 Grundlagen
• M 2 Berechnungen an Polygonen
• M 3 Berechnungen an Polyedern
• M 4 Normalen- und Koordinatengleichungen
• M 5 Abstände berechnen
• M 6 Lernerfolgskontrolle
• Lösungen der Aufgaben

• Definition und Eigenschaften des Vektorprodukts zu erläutern,
• Anwendungen zu Skalar- und Vektorprodukt durchzuführen,
• Berechnungen von Flächeninhalten und Volumina u. a. vorzunehmen,
• Abstände zu berechnen.

Anliegen des Beitrages ist es, dass die Schüler das Vektorprodukt zweier Vektoren berechnen, geometrisch interpretieren und bei Aufgaben sicher anwenden können.

• Normalenvektoren von Ebenen,
• Flächeninhalten von Polygonen,
• Volumina von Polyedern,
• Abstandsaufgaben.

Am Anfang steht ein einfacher Sachverhalt: Gegeben sind zwei Punkte durch ihre Koordinaten, gesucht ist dazu ein dritter Punkt mit bestimmten Eigenschaften. Diese Eigenschaften variieren im Beitrag, so entstehen Aufgabenstellungen von sehr unterschiedlichem Anforderungsniveau aus den Stoffbereichen analytische Geometrie, Analysis, Stochastik und Aufgaben mit einem einfachen physikalischen Hintergrund. Einige Aufgaben lassen sich ohne großen Rechenaufwand lösen, für andere ist die Verwendung eines Computeralgebrasystems (CAS) sinnvoll. Somit ergeben sich für Sie vielfältige Möglichkeiten für differenziertes Arbeiten.

• Hinweise
• M 1 Der Punkt C liegt auf der Geraden g(AB)
• M 2 Der Punkt C liegt auf der Strecke AB
• M 3 Der Punkt C bildet mit A und B ein Dreieck
• M 4 A, B und C und geometrische Abbildungen
• M 5 Stochastische und physikalische Aspekte
• M 6 Lernerfolgskontrolle
• Lösungen

Die Schüler lernen denselben Sachverhalt unter verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten. Sie müssen in arbeitsteiligen Arbeitsformen gegenseitig Verantwortung für das Gelingen von Lernprozessen übernehmen. Sie wenden Kenntnisse über elementare und analytische Geometrie, Analysis und elementare Stochastik an. Dazu gehören u. a. Kompetenzen im Umgang mit Geradengleichungen, Abstandsberechnungen, Lagebeziehungen von Punkten, Dreiecksberechnungen, geometrische Abbildungen, Tangenten, Extremwertbestimmungen und Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Durch die Untersuchung von Bewegungsaufgaben werden auch physikalische Aspekte berührt

Rotationssymmetrische Rührgefäße bieten ein dankbares Umfeld für Mathematikaufgaben – damals wie heute. In diesem Beitrag reisen Ihre Schülerinnen und Schüler gedanklich zurück ins Jahr 1968 und bearbeiten eine Abituraufgabe aus dieser Zeit. Wie einst üblich lösen die Lernenden die Aufgabe ohne digitale Hilfsmittel. Diese scheinbar „alte“ Aufgabe wird anschließend durch eine ähnliche Aufgabenstellung ergänzt, die aber mehr den heutigen Ansprüchen hinsichtlich der Kompetenzentwicklung und der Verwendung digitaler Hilfsmittel entspricht.

• Hinweise
• M 1 Eine Abituraufgabe aus dem Jahre 1968
• M 2 Variation der alten Abituraufgabe
• M 3 Lernerfolgskontrolle
• Lösungen

• die Gleichung der Umkehrfunktion zu einer gegebenen Funktion zu ermitteln,
• das Volumen von Rotationskörpern bei der Rotation um die x-Achse durch Überschlag abzuschätzen und mithilfe der Integralrechnung zu berechnen,
• den kürzesten Abstand eines Punktes zum Graphen einer Funktion zu bestimmen.

In der Unterrichtseinheit lernen Ihre Schüler lernenihre bereits erworbenen Fähigkeiten in der analytischen Geometrie im räumlichen Koordinatensystem sicher anzuwenden. Dabei müssen sie nachweisen, dass ein Viereck ein ebenes Rechteck ist. Mit den Methoden der analytischen Geometrie bestimmen die Jugendlichen Geradengleichungen, berechnen die Koordinaten des Schnittpunkts von Geraden sowie die Koordinaten eines Spiegelpunktes. Die Lernenden ermitteln die Flächeninhalte des Ausgangsrechtecks sowie eines Rechtecks, das durch den Spiegelpunkt im Inneren des Ausgangsrechtecks festgelegt ist. Sie bestimmen das Flächenverhältnis der beiden Rechtecke und zeigen, dass dies unabhängig von der Lage eines Punktes auf der benachbarten Seite des Ausgangsrechtecks ist. In einem weiteren Schritt zeigen sie, dass das Flächenverhältnis unabhängig von den Seitenlängen des Ausgangsrechtecks ist. Dieser Beweis kann sogar mit den Kenntnissen der Algebra der Mittelstufe geführt werden.

Lineare Algebra und analytische Geometrie.

Diese Unterrichtseinheit beinhaltet einen umfangreichen Streifzug durch die Themenbereiche der analytischen Geometrie der gymnasialen Oberstufen. Der Beitrag eignet sich daher sehr gut dazu, die abiturrelevanten Inhalte in diesem Bereich aufzufrischen und wachzuhalten. Alle Aufgabenstellungen sind eingekleidet in ein Kreuzzahlrätsel, sodass das Üben und Wiederholen einen spielerischen Charakter erhält. Durch Selbstkontrollmöglichkeiten können Sie Ihre Schülerinnen und Schüler die Aufgaben eigenständig bearbeiten und die Richtigkeit ihrer Ergebnisse größtenteils selbstständig überprüfen lassen.

• Klassenstufe: Sek. II
• Dauer: 10 Unterrichtsstunden (Minimalplan 1)
• Inhalt: Vektor, Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Abstand, Schnittpunkt, Schnittwinkel, parallel, windschief
• Kompetenzen: mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)

Elementare geometrische Körper wie Quader geben immer wieder Anlass für die Formulierung von Mathematikaufgaben unterschiedlichsten Niveaus – damals wie heute. In diesem Beitrag reisen Ihre Schülerinnen und Schüler gedanklich zurück ins Jahr 1968 und bearbeiten eine Abituraufgabe aus dieser Zeit. Wie damals üblich lösen die Lernenden die Aufgabe ohne digitale Hilfsmittel. Diese scheinbar „alte“ Aufgabe wird anschließend durch verschiedene Aufgabenstellungen ergänzt, die aber mehr den heutigen Ansprüchen hinsichtlich der Kompetenzentwicklung und der Verwendung digitaler Hilfsmittel entsprechen und Gelegenheit zum differenzierten Arbeiten bieten.

• Hinweise
• M 1 Originalaufgabe
• M 2 Dreiecke im Quader
• M 3 Quader, Tetraeder und Dreiecke
• M 4 Quader und Ebene
• M 5 Quader und Extrema
• M 6 Lernerfolgskontrolle
• Lösungen

• geometrische Sachverhalte im Raum zu modellieren,
• elementare Operationen mit geometrischen Vektoren auszuführen,
• das Skalarprodukt und das Vektorprodukt anzuwenden,
• Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anzuwenden,
• Geraden und Ebenen analytisch zu beschreiben und die Lagebeziehungen von Geraden zu untersuchen,
• Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen zu untersuchen.

In dieser Unterrichtseinheit testen die Jugendlichen ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie und prüfen, ob sie bereits fit für das schriftliche Abitur sind. Sechs Testklausuren mit Bearbeitungszeitvorgabe dienen Ihnen als Lernerfolgskontrolle oder den Schülerinnen und Schülern als Selbsttest.

Die Schüler lernen:

ihre Fähigkeiten im Bereich analytische Geometrie an abiturrelevanten Aufgaben einzusetzen und zu prüfen. Durch verschiedene Lösungswege erkennen Sie, dass es oft eine vorteilhaftere, effektive bzw. rechenarme Möglichkeit gibt.

Das Stangengerüst für ein Wigwam lässt sich durch eine Geradenschar mathematisch modellieren. Geradenscharen und Ebenen sind ein gutes Übungsfeld zur Vertiefung und Anwendung von Kenntnissen der Analytischen Geometrie. Dabei entwickeln die Schülerinnen und Schüler wichtige Kompetenzen für die Anwendung mathematischer Kenntnisse weiter.

• Gleichungen für Geraden und Geradenscharen zu interpretieren,
• Geradenscharen als mathematisches Modell zu verwenden,
• die gegenseitige Lage von Geraden, sowie von Geraden und Ebenen zu untersuchen,
• geometrische Gebilde im Schrägbild darzustellen,
• Ähnlichkeitsfaktoren in linearen und räumlichen Zusammenhängen zu verwenden.

• Inhalt: Geradenscharen; Ebenengleichungen; Ähnlichkeit
• Medien: WTR
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4)

Die Matrizenrechnung ist ein sehr mächtiges und deshalb oft angewandtes Instrument der Mathematik. Komplexe mathematische Probleme lassen sich mit ihr übersichtlich lösen. Daher ist sie seit einigen Jahren – zumindest in den größeren Bundesländern – auch wieder Gegenstand der Abiturprüfung. In diesem Beitrag zeigen wir, wie sich die paraxiale Ausbreitung eines Lichtstrahls durch ein optisches System mithilfe der Matrizenrechnung übersichtlich beschreiben lässt. Man nennt das hier vorgestellte Verfahren Matrizenoptik. Es wird in der technischen Optik vielfach angewendet.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

die Matrizenrechnung in realen Anwendungsfällen kennen und wenden ihr bestehendes und neu erworbenes Wissen und Können in zahlreichen Aufgaben an. Die Jugendlichen erkennen den engen Zusammenhang zwischen Mathematik und Physik auch im Teilbereich der Optik.

• Inhalt: Matrizenrechnung, Matrizenoptik, Lichtbrechung, Eingangs- und Ausgangsstrahl, Abstand und Winkel zur optischen Achse
• Medien: TR, CAS
• Kompetenzen: mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)

Die Unterrichtseinheit bietet Ihnen sechs Testklausuren, in denen die Jugendlichen ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie prüfen und erkennen, ob sie bereits fit für das schriftliche Abitur sind. Die Lernenden untersuchen Ebenen und geometrische Körper wie Kegel, Kugel und Pyramide sowie deren Lage im Raum und zueinander. Eine Bearbeitungszeitvorgabe sorgt dabei für realistische Bedingungen.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie an abiturrelevanten Aufgaben einzusetzen und zu prüfen. Sie untersuchen Ebenen und geometrische Körper wie Kegel, Kugel, Pyramide und Würfel sowie deren Lage zueinander. Durch verschiedene Lösungswege, aber auch durch Zurückgreifen auf bereits bekannte Lösungen anderer Aufgaben, erkennen sie, dass es oft eine vorteilhaftere, effektive bzw. rechenarme Möglichkeit gibt.

• Inhalt: Geraden und Ebenengleichungen in Parameterform, Normalenform und Hesse’scher Normalenform, Lagebeziehungen, Schnittpunkte und -geraden, Schnittwinkel, Dreieck, Viereck, Pyramide, Kegel, Kugel, Schnittkreis zwischen Ebene und Kugel, Berechnung von Abständen und Volumina, Wiederholung des Gesamtstoffes
• Medien: GTR/CAS, GeoGebra
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5)

Abstandsberechnungen von geometrischen Objekten wie Punkt, Gerade und Ebene sind immer wieder ein wichtiges Thema in der Analytischen Geometrie. Es gibt hierzu Standardverfahren, aber auch Tricks, welche die Berechnung oft sehr vereinfachen.

Die Schüler und Schülerinnen lernen:

Abstandsberechnungen in der Analytischen Geometrie durchzuführen. Der Beitrag ist für die Lernenden zum Selbststudium gedacht oder auch als Hilfe zur Vorbereitung auf eine Klassenarbeit. Es werden folgende Abstandsprobleme behandelt: Abstand Ursprung– Punkt, Abstand Punkt–Punkt, Abstand Punkt–Gerade, Abstand paralleler Geraden, Abstand Punkt–Ebene, Abstand paralleler Ebenen und Abstand windschiefer Geraden. Nach dem Theorieteil finden die Jugendlichen eine Fülle von Aufgaben zum Einüben des besprochenen Stoffs. Am Ende des Beitrags steht eine Klassenarbeit, bei der die Jugendlichen das Erlernte testen. Immer wieder wird auf die gewinnbringende Benutzung eines CAS-Rechners hingewiesen.

• Inhalt: Abstandsberechnungen zwischen Punkten, Geraden und Ebenen Medien: GTR/CAS
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Dieser Beitrag bietet Ihnen sechs Testklausuren, in denen die Jugendlichen ihre Fähigkeiten im Bereich Analytische Geometrie prüfen. Die Lernenden arbeiten mit Punkten und Vektoren in Koordinatensystemen und Vektorräumen und trainieren ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Für realistische Prüfungsbedingungen sorgt dabei eine Bearbeitungszeitvorgabe.

Die Schüler und Schülerinnen lernen:

ihre Fähigkeiten im Bereich analytische Geometrie an abiturrelevanten Aufgaben einzusetzen und zu prüfen. In anschaulichen Beispielen trainieren sie ihr räumliches Vorstellungsvermögen. Insbesondere die Aufgabe „Das Haus am Steilhang“ lässt sie erkennen, dass es für die gelernten Methoden auch praktische Anwendungsmöglichkeiten gibt.

Diese Aufgabensammlung liefert Ihnen und Ihren Schülerinnen und Schülern eine Vielzahl von Herausforderungen aus dem Bereich der Analytischen Geometrie. Die Lernenden beschäftigen sich mit der Lage von Geraden und Ebenen im Raum und untersuchen Würfel, Kugeln und Pyramiden. Auch die Berechnung von Flächen und Volumina, Abständen und Schnittpunkten sowie Schnittwinkeln kommt nicht zu kurz. Mit diesen Aufgaben wiederholen und festigen die Jugendlichen das Gelernte sowohl im Rahmen des Unterrichts als auch zu Hause.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

Zur Wiederholung des Stoffs aus dem Bereich der Analytischen Geometrie untersuchen die Schülerinnen und Schüler Geraden und Ebenen im Raum sowie Körper wie Kugeln, Pyramiden und Würfel. Sie stellen die Gleichungen von Geraden und Ebenen auf Basis verschiedener Nebenbedingungen auf und bestimmen Schnittpunkte, Schnittgeraden und Schnittflächen. Ihr räumliches Vorstellungsvermögen wird auf die Probe gestellt, indem sie sich beispielsweise überlegen, wie ein Würfel relativ zu zwei vorgegebenen Geraden liegen könnte, oder indem sie bestimmen, welchen „Schatten“ eine Gerade bei einer vorgegebenen Lichtquelle werfen würde. Abstands-, Flächen- und Volumenberechnungen runden den Inhalt dieser Aufgabensammlung ab.

Sechs Testklausuren, mit denen Sie die Kenntnisse Ihrer Schülerinnen und Schüler aus dem Bereich der Analytischen Geometrie überprüfen können. Gleichzeitig ermöglichen die Aufgaben es den Lernenden auch, den Stoff zu wiederholen und zu festigen, aber auch ihr räumliches Vorstellungsvermögen zu trainieren.

Die Schülerinnen und Schüler konstruieren Geraden und Ebenen oder untersuchen Kugeln, Pyramiden und Prismen. Dabei berechnen sie Tangenten und Tangentialebenen, Schnittpunkte und Schnittwinkel sowie Flächen und Volumina.

Falls gewünscht, sorgen ein Beurteilungsschlüssel sowie Zeitvorgaben bei den Aufgaben für realistische Prüfungsbedingungen.

• Trapez, Pyramide und Ebenen
• Parallelogramm, Pyramide und Geradenscharen
• Ebenenscharen und Prisma
• Ebenen, Kugeln und Geradenscharen
• Kugel, Tangentialebene und Projektion
• ...

Die Unterrichtseinheit bietet Ihnen eine Reihe von Aufgaben aus dem Bereich der Analytischen Geometrie. Eine Lernerfolgskontrolle sowie Zeitangaben ermöglichen es Ihnen, sie in Form von Übungstests einzusetzen, es spricht aber auch nichts dagegen, dass die Schülerinnen und Schüler sie im Rahmen einer regulären Unterrichtsstunde oder einer Hausübung lösen. Eine praktische Anwendungsmöglichkeit der Werkzeuge der Analytischen Geometrie bietet dabei eine Aufgabe, in der ein Neubau mit Solarmodulen am Dach geometrisch modelliert und untersucht wird.

• M1 Dreieck und Ebenenschar
• M2 Punkte, Geraden und Ebenen
• M3 Parallelogramm und Pyramide
• M4 Dreieck, Kugel, Pyramide
• ...

Die Unterrichtseinheit bietet zwei Übungstests, in denen Ihre Schülerinnen und Schüler mit Ebenen und Geraden arbeiten. Nach der Untersuchung eines Würfels oder eines Dreiecks befassen sie sich intensiv mit Kugeln. Dabei berechnen sie Lagebeziehungen sowohl zwischen einer Kugel und einer Ebene als auch zwischen zwei Kugeln. Ferner bestimmen sie Berührpunkte und Tangentialebenen sowie Schnittkreise.

Für realistische Prüfungsbedingungen sorgen eine Zeitvorgabe für jeden der beiden Tests sowie ein Bewertungsschlüssel.

• Würfel und Kugeln
• Dreieck und Kugeln
• ...

Sieben umfangreiche Übungsaufgaben stellen die Schülerinnen und Schüler vor unterschiedlichste Herausforderungen aus dem Bereich der Analytischen Geometrie. Dabei befassen sie sich mit verschiedenen Objekten im Raum, wie Kugeln, Kegeln oder Pyramiden. Sie bestimmen Schnittpunkte und Schnittkreise und stellen Ebenen- und Geradengleichungen auf. Auch die Ermittlung von Schnittwinkeln ist Teil der Aufgaben. Bei gegebenen Vierecken weisen sie nach, ob es sich um Quadrate oder Parallelogramme handelt, und bestimmen die Koordinaten fehlender Punkte. Die Berechnung von Flächeninhalten und Volumina der gegebenen Objekte runder den Aufgabenumfang ab.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

• Kugel
• Kegel
• Pyramide
• Ebene
• Tangentialebene
• Quadrat
• Parallelogramm
• Winkelbestimmung
• Umkugel

In einer Reihe von Übungsaufgeben vertiefen die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen über die Kugel und die Kugelgleichung. Sie überprüfen die Lage von Kugeln zueinander, ermitteln die Daten von Schnittkreisen und bestimmen die Gleichung von Tangentialebenen.

KOMPETENZPROFIL:

• Klassenstufe: 10/11/12/13
• Kompetenzen: Analysekompetenz, mathematisch argumentieren und beweisen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, Problemlösekompetenz
• Methoden: Analyse, Computer- und Softwareeinsatz, Übung
• Thematische Bereiche: Kugelgleichung, Kugel, Ebene, Ebenengleichung, Hesse-Form,
  Abstandsberechnung Tangentialebene, Schnittpunkt, Schnittgerade, Schnittkreis, Lotgerade, gegenseitige Lage von Objekten