Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Stochastik bei Rechenmauern

Wie muss man eine Lotterie gestalten, damit sie einerseits für potenzielle Spieler und Spielerinnen interessant ist, andererseits diese dann genügend Geld verlieren, um so ein gemeinnütziges Projekt zu finanzieren? Die Lernenden untersuchen hier einige Lotterie-Ideen mit den Gesetzen der Stochastik.

KOMPETENZPROFIL:

• Klassenstufe: 10/11/12/13
• Dauer: 4–5
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, Textkompetenz, Umgang mit Texten und Medien
• Methoden: Computer- und Softwareeinsatz, Datenauswertung
• Materialart: Definition, Excel, Informationstext
• Inhalt: Erwartungswert, Zufallsgröße, Kombinationen, Variationen, Binomialverteilung

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Wir bewegen uns täglich im Straßenverkehr. Doch selten betrachten wir die Straßenschilder aus einer mathematischen Perspektive. Dabei gibt es hierzu kreative Möglichkeiten: verschiedene Merkmale der Verkehrszeichen hinsichtlich beispielsweise Form oder Größe können benutzt werden, um Ereignisse zu definieren und deren Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Wird das Einhalten von Verkehrszeichen untersucht, so kann dies zu einer Dreiecksverteilung führen, die mithilfe der Analysis ausgewertet werden kann. Aussagen zu Verkehrszeichen können mithilfe von Tests überprüft werden. Nutzen Sie diese Unterrichtsreihe für die etwas andere Art der Zufallsexperimente und fördern Sie so die Motivation der Lernenden.

• Klassenstufe: 11–13
• Dauer: 11 Unterrichtsstunden (Minimalplan 8)
• Kompetenzen: mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
• Inhalt: Baumdiagramm, (bedingte) Wahrscheinlichkeit, Simulation, Formel von Bernoulli, hypergeometrische Verteilung, einseitiger/ zweiseitiger Test, Fehlerquote, Dichtefunktion
• Zusatzmaterialien: Excel-Dateien zur Simulation

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Wir bewegen uns täglich im Straßenverkehr. Doch selten betrachten wir die Straßenschilder aus einer mathematischen Perspektive. Dabei gibt es hierzu kreative Möglichkeiten: verschiedene Merkmale der Verkehrszeichen hinsichtlich beispielsweise Form oder Größe können benutzt werden, um Ereignisse zu definieren und deren Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Wird das Einhalten von Verkehrszeichen untersucht, so kann dies zu einer Dreiecksverteilung führen, die mithilfe der Analysis ausgewertet werden kann. Aussagen zu Verkehrszeichen können mithilfe von Tests überprüft werden. Nutzen Sie diese Unterrichtsreihe für die etwas andere Art der Zufallsexperimente und fördern Sie so die Motivation der Lernenden.

• Klassenstufe: 11–13
• Dauer: 11 Unterrichtsstunden (Minimalplan 8)
• Kompetenzen: mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
• Inhalt: Baumdiagramm, (bedingte) Wahrscheinlichkeit, Simulation, Formel von Bernoulli, hypergeometrische Verteilung, einseitiger/ zweiseitiger Test, Fehlerquote, Dichtefunktion
• Zusatzmaterialien: Excel-Dateien zur Simulation

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Und wieder einen Termin verpasst. Schnell noch eine Nachricht geschrieben und  – oops – vertippt. Ein „t“ zu viel, und aus der Ankündigung, später noch nachzukommen, wird der Satz „Ich komme später noch nacht!“. Aber damit noch nicht genug, denn die Autokorrektur verschlimmbessert das zu „Ich komme später noch nicht!“ und ärgert uns mal wieder. Doch wie passiert das?

Lassen Sie Ihre Schüler und Schülerinnen erforschen, wie Autokorrektur und Autovervollständigungsprogramme arbeiten und warum dafür bedingte Wahrscheinlichkeiten eine große Rolle spielen.

• Hinweise
• Autokorrektur – Mengendiagramme
• Autokorrektur – Vierfeldertafel
• Autovervollständigung – bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Übungsaufgaben
• Lösungen

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Die Schülerinnen und Schüler konstruieren in diesem Beitrag faire und nicht faire Spiele am Beispiel eines Glücksrads. Dabei modellieren sie passende Zufallsgrößen und berechnen etwa den erwarteten Auszahlungs- oder Gewinnbetrag. Die Jugendlichen wenden geschickt die Pfadregeln und kombinatorische Überlegungen an, um im Vorfeld Ereigniswahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

• Hinweise
• M 1: Wer hat Glück?
• Lösungen

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihre Kenntnisse an einem Anwendungsbeispiel im Bereich Glücksspiel anzuwenden. Sie zeichnen Baumdiagramme und wenden Pfadregeln und kombinatorische Überlegungen an, um Ereigniswahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Die Jugendlichen setzen sich mit einem konstruierten Glücksspiel auf einem Schulfest auseinander, berechnen den Einsatz für ein faires Spiel, aber auch denjenigen Einsatz, der der „Bank“ einen bestimmten Gewinn garantiert. Dafür definieren sie Zufallsgrößen und bestimmen deren Erwartungswert.

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Pyramiden sind Schülerinnen und Schülern als geometrische Körper bzw. aus dem alltäglichen Leben bekannt. Setzt man eine Pyramide aus Kugeln zusammen und versieht die einzelnen Kugeln auf der Oberfläche (Mantelfläche) der Pyramide jeweils mit einem Punkt, so bieten die bepunkteten Kugeln die Grundlage für unterschiedliche Zufallsexperimente.

Zur Lösung der Aufgaben setzen die Jugendlichen (vereinfachte) Baumdiagramme, be-dingte Wahrscheinlichkeiten, die Binomialverteilung oder Sigma-Intervalle ein. Zudem überprüfen sie, ob zwei Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig sind; sie testen Hypothesen und berechnen den Fehler 2. Art beim Hypothesentest.

• Hinweise
• M1 Beschreibung der Kugelpyramide
• M2 Aufgaben
• Lösungen

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Ob ideal, gefälscht oder völlig ausgefallen beschriftet – in diesem Beitrag dreht sich alles um Würfel. Die Jugendlichen erforschen abwechslungsreiche Zufallsexperimente und setzen ihr Können und Wissen gezielt ein. Sie bestimmen dabei kreativ Ereigniswahrscheinlichkeiten, wenden die Binomialverteilung an und berechnen Erwartungswerte und Standardabweichungen.

• Hinweise
• M1 Aufgaben
• Lösungen

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihre Fähigkeiten in verschiedensten Zufallsexperimenten einzusetzen, kreative Lösungswege zu finden und ungewöhnliche Fragestellungen zu meistern. Sie stärken ihren Umgang mit der Binomialverteilung sowie mit Erwartungswerten und Zufallsvariablen.

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In der Unterrichtseinheit erfahren die Jugendlichen, wie man komplexe Probleme aus der Technik und dem Alltag mathematisch modellieren kann. Dabei lernen Sie die vier Urnenmodelle kennen und unterscheiden zwischen Variationen, Kombinationen und Permutationen. Der interdisziplinäre Unterricht stärkt die Motivation der Schülerinnen und Schüler und zeigt auf, welche enorm wichtige Rolle die Kombinatorik in technologischen Fragestellungen spielt.

• Hinweise
• M1 Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
• M2 Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
• M3 Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
• M4 Permutationen mit mehreren gleichartigen Elementen
• M5 Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
• Lösungen

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Ob bei der Gepäckaufgabe am Flughafen, bei Radarkontrollen im Straßenverkehr oder in der Geburtsklinik – die Wahrscheinlichkeitsrechnung versteckt sich in vielen Details unseres Alltags. In diesem Beitrag erfahren Ihre Lernenden, wie wichtig Stochastik in unserem Alltag ist und dass man sie aber dennoch kaum wahrnimmt. Die Schülerinnen und Schüler ..

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In der Unterrichtseinheit (Aufgaben mit Lösungen) lernen die Schülerinnen und Schüler, Anwendungsaufgaben Ereigniswahrscheinlichkeiten zu berechnen, die Anzahl von Möglichkeiten zu bestimmen sowie die Binomialverteilung zu modellieren und anzuwenden.

In der Unterrichtseinheit untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler durch geeignete Simulationen oder durch Beobachtung realer Sachverhalte erhobene Datensätze mit schulischen Mitteln darauf, ob man sie durch eine Normalverteilung näherungsweise modellieren kann.

Die Lernenden nutzen für die Untersuchungen ihre bereits vorhandenen Kenntnisse über grundlegende Eigenschaften von Normalverteilungen sowie über die Erstellung und Nutzung von Prognoseintervallen. Sowohl für die Simulationen als auch für die effektive Untersuchung der Datensätze verwenden die Jugendlichen ein Computeralgebrasystem (CAS).

• Hinweise
• Einführung und Beispiel
• Aufgaben
• ...

Zufallsexperimente in der Schule werden oft anhand immer gleicher Beispiele wie das Werfen von Spielwürfeln, das Ziehen von Kugeln aus Urnen oder das Drehen von Glücksrädern veranschaulicht. In dieser Unterrichtsreihe werden Zufallsexperimente mithilfe der Flaggensymbole des Winkeral-phabets definiert. Die etwas andere Art der Zufallsexperimente soll dabei motivationsfördernd sein. Nebenbei erfahren die Lernenden so von einer Möglichkeit, sich über weite Strecken mithilfe von Zeichen zu verständigen.

• Klassenstufe: 11–13
• Dauer: 2–4 Unterrichtsstunden
• Inhalt: einstufiges Zufallsexperiment, mehrstufiges Zufallsexperiment, bedingte Wahrscheinlichkeit, Baumdiagramm, Pfadregeln, Winkel
• Kompetenzen: mathematisch Probleme lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit den symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, kommunizieren

Die Analyse von Urnenmodellen stellt ein wesentliches Konzept innerhalb der Stochastik dar. Dieser Beitrag ermöglicht Ihren Schülerinnen und Schülern zum einen, auf klassische Weise anhand von Baumdiagrammen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen und aus Beispielen eine Formel zu entwickeln. Darüber hinaus simulieren die Lernenden für bestimmte Belegungen der Urnen mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis. Dadurch ermöglichen Sie Ihren Schülerinnen und Schülern einen alternativen, entdeckenden Zugang zu dieser wichtigen Thematik.

In dieser Unterrichtseinheit lösen die Schülerinnen und Schüler anwendungsorientierte Prob-lemstellungen der Stochastik anhand von Boxplotdiagrammen und Simulationen. Konkret werden dabei unterschiedliche Einheiten von Seenotrettern in quantitativer Weise verglichen. Es werden sowohl klassische Instrumente wie Baumdiagramme, bedingte Wahrscheinlichkeit und die Modelle des Ziehens mit und ohne Zurücklegen zur Lösung eingesetzt. Darüber hinaus kommen aber auch Größen wie Median und Sigmaintervall zur Sprache. In einem umfangreichen Aufgabenblock haben die Lernenden die Möglichkeit, anhand eines aktuellen, greifbaren Themas die erlernten zentralen stochastischen Konstrukte zu verinnerlichen.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

Boxplotdiagramme als anwendungsorientierte Hilfsmittel einzusetzen. Sie simulieren bestimmte Ereignisse mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms und vergleichen die simulierten Ergebnisse mit den berechneten Wahrscheinlichkeiten. Die Jugendlichen bestimmen Ereigniswahrscheinlichkeiten mithilfe von teils komplexen Baumdiagrammen. Ebenso festigen die Lernenden ihr Können und Wissen über die Bestimmung von (bedingten) Wahrscheinlichkeiten, indem sie zugehörige Elementarereignisse auszählen. Anhand der Binomialverteilung berechnen die Lernenden Wahrscheinlichkeiten, schätzen mithilfe der s-Regeln Anzahlen und testen Hypothesen. Außerdem berechnen sie bei mehrmaligem Ziehen ohne Zurücklegen Wahrscheinlichkeiten mittels der hypergeometrischen Verteilung.

Kombinatorik begegnet den Schülerinnen und Schülern oft im Alltag, ohne dass die Jugendlichen sich dessen bewusst sind. Dieser Beitrag zeigt an praxisnahen Beispielen, wie Mathematik mit unserer Lebenswelt verwoben ist. Die Lernenden wenden klassische kombinatorische Überlegungen an. Dabei berechnen sie Ereigniswahrscheinlichkeiten durch Laplace-Modellierung, mithilfe der Binomialverteilung, der Hypergeometrischen Verteilung und durch den Einsatz von bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

an realitätsnahen Beispielen ihre Fähigkeiten in den Bereichen Kombinatorik und Ereigniswahrscheinlichkeiten anzuwenden. Sie bestimmen die Anzahl der Möglichkeiten durch Abzählen, Baumdiagramme und den Binomialkoeffizienten. Die Lernenden berechnen Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Laplace-Formel, der bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Vierfeldertafel, der Binomialverteilung und der Hypergeometrischen Verteilung.

Ihre Klasse kennt bereits das Geburtstagsproblem, Lotto „6 aus 49“ oder das Rosinenproblem und ist bereit für neue Herausforderungen? Dieser Beitrag kombiniert Elemente aus den vier Urnenmodellen (mit und ohne Zurücklegen bzw. mit und ohne Beachtung der Reihenfolge) zu spannenden und komplexen Fragestellungen und fördert insbesondere die modellbildende Kompetenz bei den Jugendlichen.

Die Schülerinnen und Schüler lernen: ihre Fähigkeiten in der Kombinatorik auf realitätsnahe Aufgaben anzuwenden. Dabei verwenden sie im Beitrag vorgestellte (Fächerbelegungs-)Modelle oder bearbeiten darauf aufbauende Aufgaben. Besonders das Erkennen und Neubilden der Modelle steht bei den Aufgaben im Vordergrund.

• Inhalt: Kombinatorik, Modelle mit und ohne Zurücklegen, Modelle mit und ohne Beachtung der Reihenfolge, Kombinationen der Grundmodelle
• Medien: Taschenrechner
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4)

In dieser Unterrichtseinheit lernen die Schülerinnen und Schüler spielerisch (Ereignis-) Wahrscheinlichkeiten mit verschiedenen Werkzeugen zu berechnen: mithilfe von Bernoulli-Ketten, der Binomialverteilung, Schnitt- und Teilmengenbetrachtungen und bedingten Wahrscheinlichkeiten. Die Lernenden stellen zudem einfache Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsgrößen auf und berechnen den Erwartungswert.

Interaktive Simulationen eignen sich im Mathematikunterricht zur Veranschaulichung und dem tatsächlichen Begreifen von Zusammenhängen und Abläufen. Mithilfe dieses Beitrages und der damit verbundenen Simulation können Sie Ihren Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit bieten, durch das eigenständige Experimentieren und Entdecken eine grundlegende Vorstellung für die Binomialverteilung zu entwickeln.

• Klassenstufe: Sek. II
• Dauer: 3–4 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Galton-Brett, Binomialverteilung
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren (K1)
• Methoden: Entdeckendes Lernen; Arbeiten mit Simulationen

Ob beim Verpacken von Schokolade, bei der Herstellung von elektronischen Schaltern, Kunststoffteilen, Schrauben oder Klimaanlagen – Fehler passieren. Damit aber das Abitur möglichst fehlerfrei wird, bietet dieser Beitrag zahlreiche lebensnahe Aufgaben aus der Arbeitswelt, die u. a. folgende Themen behandeln: Binomial-, Hypergeometrische und Normalverteilung, Hypothesentests, Erwartungswert und Varianz.

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihr Wissen aus der Mittel- und Oberstufe an realitätsnahen Aufgaben anzuwenden. Die Aufgaben des Beitrags wiederholen und festigen viele abiturrelevante Themen und eignen sich daher auch als Abiturvorbereitung.

Das Stationenlernen ermöglicht es Ihren Schülerinnen und Schülern, weitgehend selbstständig die Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten der bekanntesten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung zu wiederholen oder auch zu erarbeiten. Das Material ist als Lernen an Stationen konzipiert, erzielt aber aufgrund der vielfältigen Differenzierungsmöglichkeiten eine individuelle Förderung innerhalb der Lerngruppen. Dazu gehören auch die Durchführung und Auswertung von Experimenten, real oder mithilfe von Simulationen.

Der GTR spielt nicht nur dabei eine Rolle, sondern ermöglicht es den Jugendlichen, auch schnell Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, insbesondere kumulierte Werte. Die Lernenden erfahren ebenfalls mit dem GTR durch gezieltes Probieren Sigma-Regeln. Zudem tragen interaktive Onlinerechner innerhalb der Aufgaben mit zur Motivation der Lerngruppen bei. Ergänzend finden Sie grundlegende Materialien wie auch ein Rätsel, damit Ihre Klasse die Grundbegriffe auch in geeigneten Kontexten verstehen kann.

• Hinweise
• Wiederholung der Grundbegriffe – Theorie
• Kammrätsel zu den Grundbegriffen
• Wahrscheinlichkeiten berechnen
• Experimente durchführen und auswerten
• Simulationen – eigene Simulationen erstellen
• Erwartungswert und Standardabweichung
• Anwendungen
• Problemlösen
• Lösungen

Der Begriff Paradoxon leitet sich aus dem Griechischen ab: para bedeutet entgegen, doxa heißt Erwartung. Ein Paradoxon ist also ein Sachverhalt, der ein unerwartetes Ergebnis zeigt. Dabei besteht die (enttäuschte) Erwartung etwa aus Erfahrungen, Beobachtungen, Wissen oder bestimmten Vorüberlegungen. Die Auflösung eines jeden Paradoxons sorgt für einen persönlichen Lerneffekt sowie im Großen für die Weiterentwicklung der Wissenschaft. Die hier ausgewählten Paradoxa der Wahrscheinlichkeitsrechnung eignen sich besonders als motivierende Denkanstöße für Oberstufenschülerinnen und -schüler und vertiefen deren stochastisches Grundwissen in voller Breite.

• Hinweise
• Simpson-Paradoxon
• Efrons nicht transitive Würfel
• Bridge-Paradoxon
• Geburtstags-Paradoxon
• Paradoxon der zwei Umschläge
• Ziegenparadoxon
• Sind Sie fit? – Testen Sie Ihr Wissen!
• Lösungen

• wachsam und kritisch auf scheinbar widersprüchliche Ergebnisse zu reagieren, deren Verblüffungseffekt bei vielen Paradoxa den Forschergeist und Ehrgeiz wecken.
• Vorsicht walten zu lassen bei scheinbar selbstverständlicher Transitivität.
• den Erwartungs- oder Mittelwert als oft, aber nicht immer hilfreiches Mittel der Wahl zu sehen.
• „offensichtliche“ Gleichverteilung ggf. nochmal kritisch zu prüfen.
• Zusatzinformationen in Hinblick auf ihren Mehrwert einzustufen.
• Bezugsgrößen bei Bedarf im Auge zu behalten.

Zufallsexperimente werden oft mit Würfeln durchgeführt. Hierbei benutzt man bestimmte Eigenschaften der Augenzahlen, um Ereignisse zu definieren. Im vorliegenden Beitrag sind die Würfelzahlen als Zwischenschritt benutzt, um die Konstruierbarkeit von Dreiecken festzustellen. Hierzu werden drei Würfel gleichzeitig geworfen und die Augenzahlen mit der Seitenlänge (in cm) eines zu konstruierenden Dreiecks gleichgesetzt. Abhängig von der Konstruierbarkeit und der Form des konstruierten Dreiecks werden dann unterschiedliche Aufgabenstellungen der Stochastik der Oberstufe untersucht. Unterstützt wird die Bearbeitung der Aufgaben durch eine Simulation mit einer Tabellenkalkulation. Da viele Aufgabenstellungen der Oberstufe im Bereich der Stochastik angesprochen werden, eignet sich die Aufgabe gut zur Vorbereitung auf das Abitur.

Die Schüler lernen: die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten in komplexeren Aufgaben einzusetzen. Bevor sie die Pfadregeln anwenden, müssen sie die Wahrscheinlichkeiten am Baum anhand der Konstruierbarkeit von Dreiecken bzw. der Form der konstruierten Dreiecke bestimmen. Sind zusätzliche Informationen zur Konstruierbarkeit bzw. zur Form der Dreiecke bekannt, so berechnen die Lernenden bedingte Wahrscheinlichkeiten. Vergrößert sich die Anzahl der Laplace-Zufallsexperimente, so wenden sie die Formel von Bernoulli an.

Die Konstruierbarkeit der Dreiecke bzw. die Form der Dreiecke lässt sich auch für ein Spiel benutzen. Die Jugendlichen berechnen bei dieser Aufgabe den Erwartungswert und überprüfen, ob das Spiel fair ist.

Um Aussagen über die Anzahl der Versuche zu treffen, wenden die Schüler die s-Regeln an. Ebenso überprüfen sie mithilfe eines Alternativtests, auf welche Art die Zufallszahlen bzw. die Dreiecke erzeugt wurden.

Wahrscheinlichkeitsrechnung auf den Kopf gestellt: In diesem Beitrag finden die Schülerinnen und Schüler zu vorgegebenen Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten heraus, ob bei Zufallsversuchen zweimal gewürfelt, zweimal ein Glücksrad gedreht oder zweimal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen wurde. Die Jugendlichen berechnen mithilfe der Pfadregeln zu einem Ereignis jeweils die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Geräte, vergleichen sie mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit und ordnen anschließend das Gerät zu.

Die Schüler lernen: die Berechnung von (bedingten) Wahrscheinlichkeiten bei zweistufigen Zufallsversuchen. Sie nehmen dazu Tabellen zur Hilfe, wenden die Pfadregeln sowie die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit an.

Die Unterrichtseinheit beschäftigt sich aus mathematischer Perspektive mit der Frage nach der Wirksamkeit von Impfstoffen gegen Covid-19 und nimmt in diesem Zusammenhang durchgeführte Studien unter die Lupe. Vermitteln Sie mithilfe des Materials den Unterrichtsinhalt von Hypothesentests am konkreten Lebensweltbezug. Durch das medial sehr präsente Thema trägt diese Unterrichtssequenz überdies zur Medienbildung im Bereich der Information und Analyse bei und fördert so eine selbstbestimmte, aktive und demokratische Teilhabe an Politik, Kultur und Gesellschaft.

• Klassenstufe: 12/13
• Dauer: 2 Unterrichtsstunden
• Inhalt: Hypothesentest, Binomialverteilung, Irrtumswahrscheinlichkeit, Verwerfungsbereich, Signifikanz
• Kompetenz: mathematisch modellieren, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, kommunizieren
• Zusatzmaterialien: GTR/CAS-Werkzeug, Excel-Datei „Medikamententests.xlsx“

Problemorientierter Unterricht mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes.

Ladendiebstahl, Drogenkonsum oder auch Gewalt in Beziehungen sind sogenannte „Dunkelfelder“. Das bedeutet, dass man zum Beispiel auf die Frage „Haben Sie schon einmal geklaut?“ mit hoher Wahrscheinlichkeit keine ehrliche Antwort bekommt. Deshalb wird man bei solchen Befragungen z. B. den Anteil der Diebe in unserer Gesellschaft stark unterschätzen. Die Dunkelfeldforschung ist eine praktische Anwendung für folgenden stochastischen Verfahren und Sätze: bedingte Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln und Satz von Bayes. In dieser Unterrichtseinheit üben Ihre Schüler diese Inhalte anwendungsorientiert und testen anschließend ihr Wissen in einer Lernerfolgskontrolle.

• Hinweise
• M 1 Haben Sie schon einmal geklaut?
• M 2 Ja (?!) – Karten für die Einstiegssimulation
• M 3 Varianten in der Dunkelfeldforschung – Übung 1
• M 4 Aufgaben zur Excel-Simulation
• M 5 Wovon ist die Güte der Schätzung abhängig?
• M 6 Lernerfolgskontrolle
• Lösungen

Die Schüler lernen: den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit sicher anzuwenden. Sie bestimmen die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse mithilfe von Baumdiagrammen. Auch den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit und den Satz von Bayes lernen sie kennen. Die Aufgaben sind in den Kontext „Dunkelfeldforschung“ eingebettet, der die Schüler ansprechen wird. Eine Lernerfolgskontrolle rundet den Beitrag ab.

Rechts- und linksseitiger sowie zweiseitiger Test mit Beispielen und einer Lernerfolgskontrolle.

Ein statistischer Test erlaubt es den Statistikern in vielen Bereichen, in denen die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines bestimmten Ereignisses nicht bekannt ist, sich auf der Basis einer empirischen Stichprobe zwischen zwei konkurrierenden wissenschaftlichen Hypothesen zu entscheiden. Dabei treten gewisse Irrtumswahrscheinlichkeiten auf, die aufgrund der getroffenen Vorgaben von besonderem Interesse sind. In diesem Beitrag lernen die Jugendlichen die verschiedenen Signifikanztests in Theorie und Praxis kennen. An zahlreichen Aufgaben wenden sie ihr neues Wissen an und testen sich in einer Lernerfolgskontrolle.

• Hinweise
• M 1 Der Signifikanztest (Theorieteil)
• M 2 Aufgaben
• M 3 Klassenarbeit
• Lösungen

Die Schüler lernen die verschiedenen Arten von Signifikanztests zunächst von ihrer theoretischen Seite, anhand von Beispielen illustriert, kennen. Dies sind der rechtsseitige, der linksseitige und der zweiseitige Signifikanztest. Ihre Schüler üben anschließend Anwendungen dieser Testverfahren anhand einer Reihe von Beispielen ein. Eine Lernerfolgskontrolle rundet den Beitrag ab.

• Inhalt: rechtsseitiger, linksseitiger, beidseitiger Signifikanztest, Übungsaufgaben, Lernerfolgskontrolle
• Medien: GTR/CAS, Taschenrechner, stochastisches Tafelwerk
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), Kommunizieren (K6)

Rahmenbedingungen und Auswertungen von Medikamententests.

Die Unterrichtsreihe beschäftigt sich mathematisch mit der Auswertung von Studien und der Wirksamkeit von Impfstoffen gegen Covid-19. Die Schülerinnen und Schüler lernen, wichtige Kenngrößen zu berechnen und Ergebnisse der Phase-III-Studien auszuwerten.

• Inhalt: (vereinfachte) Studienergebnisse zur Wirksamkeit von Impfstoffen gegen Covid-19 mithilfe eines Signifikanztests auswerten, die Wirksamkeit berechnen und richtig bewerten.
• Medien: GTR/CAS-Werkzeug, Excel-Datei „Medikamententests.xlsx“
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), kommunizieren (K6)

In diesem Beitrag wiederholen
Ihre Schüler Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung mithilfe von verschiedenen Rätseln.

• Inhalt: Rätsel zur Wahrscheinlichkeit lösen
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen

Dieser vierte Teil der Serie von Rätsel zur Stochastik für den Einsatz ab der gymnasialen Mittelstufe wiederholt Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Ein spielerische Zugang und die Möglichkeit zur Selbstkontrolle der Schüler eignet sich wunderbar zur Festigung von Erlerntem in Alleinarbeit oder einer Lerngruppe. Mit Knobelspaß begeistern Sie jeden Schüler für Ihren Mathematikunterricht und sichern nachhaltig dessen Wissen.

• Inhalt: Rätsel zur Wahrscheinlichkeit lösen
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen

Aus Grabungsfunden in China und Mesopotamien ist bekannt, dass bereits 3000 v. Chr. Glücksspiele existierten. Die Verbreitung der Glücksspiele gab zu Beginn der Neuzeit Anlass zu mathematischen Untersuchungen, zum Beispiel durch Pierre de Fermat (1605–1665), dem Vater der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Diese Aufgabensammlung umfasst unterhaltsame Rechenbeispiele zu unterschiedlichen Arten des Glücksspiels und zeigt deren unmittelbaren Bezug zur Mathematik auf.

• Inhalt: Zufallsgrößen und ihre Darstellung, Erwartungswert; Kombinatorik und Fächerbelegung; Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung; Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen; Ereignisse und Ereigniswahrscheinlichkeiten; Vierfeldertafel und Baumdiagramm mit Pfadregeln, Binomialverteilungen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Es wird viel produziert! Besonders bei der Massenanfertigung können kleine Fehler große Auswirkungen haben. In diesem praxisnahen Beitrag lernen die Schüler, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik unverzichtbar in unserer heutigen Welt geworden sind. Besonders die Binomialverteilung und bedingte Wahrscheinlichkeiten dienen den Schülern hier als Werkzeug, um Fehler in der Fertigung abschätzen und bewerten zu können.

• im Kontext der Stochastik Lösungen mithilfe der Binomialverteilung, hypergeometrischer Verteilung und bedingter Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
• Sie interpretieren Ereignisse im Sachzusammenhang, finden für vorgegebene Berechnungen die passenden Zufallsexperimente bzw. Wahrscheinlichkeiten und stellen Ereignismengen grafisch dar. Die Aufgaben eignen sich für eine Einzel- und Gruppenarbeit sowie als Hausaufgabe.

• Inhalt: Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Ergebnis, Ereignis, Fehlerwahrscheinlichkeiten, (Mengen-)Diagramm, Ziehen mit Zurücklegen, Ziehen ohne Zurücklegen, hypergeometrische Verteilung
• Medien: GTR
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Absolute und relative Häufigkeit, Bernoulli-Kette, hypergeometrische Verteilung – Ihren Schülern begegnen in der Stochastik viele Fachbegriffe. Erst ein sicherer Gebrauch derselben ermöglicht es, stochastische Problemstellungen wie sie z.  B. in Abiturprüfungen gestellt werden, richtig zu lösen. Der Beitrag vertieft und festigt den Umgang mit stochastischen Vokabeln auf spielerische Weise. Setzen Sie die Rätsel als Auffrischung zu Beginn einer Unterrichtsstunde ein oder auch am Ende, um den Wissensstand Ihrer Schüler zu überprüfen.

• Inhalt: Begriffe aus der Stochastik wie z. B. Vierfeldertafel, absolute und relative Häufigkeit, Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit, Streuung, Poisson-Verteilung, Durchschnitt, Pfadregeln, Stichprobe, Satz von Bayes, Ereignis, Signifikanztest, Varianz, Permutation, Konfidenz, Testproblem, Moivre, Stabdiagramm, Nullhypothese, Mittelwert
• Methode: Einzelarbeit
• Kompetenzen: mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Schüler lernen: souverän mit stochastischen Grundbegriffen umzugehen.

Diese Silbenrätsel setzen Sie zu Beginn einer Unterrichtsstunde ein, um bei Ihren Schülern Neugier für das Thema „Stochastik“ zu wecken. Aber auch als Leistungskontrolle am Ende einer Unterrichtseinheit eignen sich die Materialien. Im Sinne einer Binnendifferenzierung geben Sie die Rätsel schnellen Schülern als Zusatzaufgabe. Bei Partnerarbeit können sich die Schüler gegenseitig unterstützen und gemeinsam falsche Antworten korrigieren.

In der Unterrichtseinheit finden Sie zahlreiche Aufgaben, die Sie im Unterricht zum Thema Binomialverteilung verwenden können.

Beginnend bei absoluten und relativen Häufigkeiten und über Wahrscheinlichkeiten führen die Aufgaben langsam an das Thema Verteilung heran. Ihre Schülerinnen und Schüler lernen sicher mit der Binomialverteilung und ihren Kennzahlen wie dem Erwartungswert, Varianz und der Standardabweichung umzugehen.

• Aufbau und Unterrichtsplanung, Einleitung
• Häufigkeit – Wahrscheinlichkeit – Verteilung
• Binomialverteilung – Grundlegendes
• Binomialverteilung in Anwendungsaufgaben
• Erwartungswert – Varianz – s-Umgebung
• Lösungen

Die Schüler lernen:

zunächst mit den Begriffen „relative Häufigkeit“, „Histogramm“ sowie „Verteilung“ und „Wahrscheinlichkeit“ umzugehen, ohne sich dabei auf eine bestimmte Verteilung festzulegen. Anschließend lenken sie ihren Blick auf die Binomialverteilung. Um diese anwenden zu können, üben die Lernenden zuerst die Rechenregeln ein. Sie ermitteln die Wahrscheinlichkeitswerte mithilfe der Stochastik-Tabellen sowie mit dem Taschenrechner. Die Jugendlichen lernen anschließend den Unterschied zwischen den Formulierungen wie „höchstens“, „mindestens“, „mehr als“, „weniger als“ kennen. Schließlich wenden sie die Binomialverteilung in Textaufgaben an, was eine weitere Herausforderung darstellt, da sie zusätzlich noch die Angaben des Textes in eine mathematische Form bringen müssen. Zum Schluss erarbeiten sich die Lernenden noch die zentralen Begriffe „Erwartungswert“, „Varianz“ und „Standardabweichung“ sowie die s-Umgebung.

Wirft man eine „ideale“ Münze n-mal und betrachtet das Ergebnis „Wappen“ als Treffer, so geht man davon aus, dass die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,5 ist. Trotzdem wird es in einer konkreten Stichprobe des Umfangs n häufig passieren, dass nicht genau die Hälfte der Ergebnisse „Wappen“ lautet. Vielmehr wird man erwarten dürfen, dass die Anzahl der Treffer zufallsbedingt in einem Intervall um den Erwartungswert liegt. Im Mathematikunterricht der Oberstufe lassen sich solche Prognoseintervalle im Zusammenhang mit den Sigma-Regeln der Binomialverteilung quantitativ berechnen und inhaltlich interpretieren. Sie bieten einen sehr guten Zugang zur Betrachtung von Konfidenzintervallen.

• M 1 Die Sigma-Regeln der Binomialverteilung
• M 2 Hypergeometrische Verteilung/Binomialverteilung
• M 3 Prognoseintervalle für absolute Häufigkeiten
• M 4 Prognoseintervalle für relative Häufigkeiten
• Lösungen

• die Sigma-Regeln für binomialverteilte Zufallsgrößen anzuwenden,
• Prognoseintervalle für absolute und relative Häufigkeiten bei Stichproben binomial-verteilter Zufallsgrößen zu berechnen und zu interpretieren,
• die Begriffe „signifikante Abweichung“ und „statistische Verträglichkeit“ sachgerecht zu verwenden,
• die Möglichkeit der Näherung hypergeometrisch verteilter Zufallsgrößen durch binomialverteilte Zufallsgrößen kennen und anzuwenden,
• die Möglichkeiten des CAS-Rechners zur Berechnung und Visualisierung von Prognoseintervallen auszunutzen.

Zum Einstieg in diese Unterrichtseinheit kann ein Ausschnitt aus einem James-Bond-Film gezeigt werden. Im weiteren Verlauf werden zusätzliche Filmausschnitte analysiert. Diese Möglichkeit hat man im Mathematikunterricht nicht oft. Die Schüler erarbeiten die Regeln für das Glücksspiel Baccara (Variante „chemin de fer“). Sie berechnen Wahrscheinlichkeiten für ausgewählte Ereignisse.

Die Schüler lernen:

Die Schüler erarbeiten die Regeln für das Glücksspiel Baccara (Variante „chemin de fer“). Sie berechnen Wahrscheinlichkeiten für ausgewählte Ereignisse. Dabei trainieren sie den Umgang mit Begriffen wie „Zufallsgröße“, „Kombination“ und „bedingte Wahrscheinlichkeit“. Sie wenden die Pfadregeln an und addieren Wahrscheinlichkeiten.

• Inhalt: Zufallsgröße, Kombinationen, bedingte Wahrscheinlichkeit, Pfadregel, Addition Wahrscheinlichkeiten
• Medien: Filmausschnitte, Tabellenkalkulation
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Unterrichtseinheit behandelt die sogenannten statistischen Lagemaße: Mittelwert, Median und die Quartile. In statistischen Erhebungen wie etwa Befragungen erlauben diese Maße eine gute erste Beurteilung der Verteilung der Daten. Ihre Schüler lernen mit den hier zusammengestellten Aufgaben anhand von kurzen und einfachen Datenreihen die Begriffe kennen und üben ihre Ermittlung ein.

Außerdem sind erste Anwendungen beispielhaft enthalten. Schließlich finden sich etwas schwierigere Aufgaben, die vor allem den Unterschied von Mittelwert und Median anschaulich verdeutlichen.

Die Schüler lernen:

Während wohl alle Schüler den Mittelwert bereits praktisch kennen (Notendurchschnitt bei einer Klassenarbeit etwa), sind Median und Quartile bisher unbekannte Konzepte. Sie haben allerdings wesentlich mehr Aussagekraft über die Verteilung der Daten, da sie diese sozusagen in vier gleich große „Häppchen“ aufteilen: Der Median teilt die Daten in zwei Hälften, und diese beiden Hälften werden jeweils noch einmal „in der Mitte geteilt“ durch die Quartile. So bekommt man schnell einen guten Blick darauf, bei welchen Werten sich die gesamten Daten mengenmäßig aufteilen lassen mittels der 25 %, der 50 % und der 75 %-Grenze.

• Inhalt: Mittelwert und Median, unteres und oberes Quartil
• Medien: GTR
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Ein Antikörpertest kann im Blut eines Menschen nachweisen, ob dieser bereits eine SARS-CoV-2-Infektion hatte oder nicht. Aber die Fehlerquote eines solchen Tests ist immer noch sehr hoch. Nun kommt per Eilzulassung ein Test auf den Markt, der fast 100-prozentige Sicherheit verspricht. Anhand dieses Beispiels setzen sich Ihre Schüler mit Fehlerwahrscheinlichkeiten bei medizinischen Tests auseinander.

• Klassenstufe: 11-13 (G9)
• Dauer: 4-6 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen:
  • Mathematisch argumentieren
  • Probleme mathematisch lösen
  • Mathematisch modellieren
  • Kommunizieren
• Thematische Bereiche: Bewertung von medizinischen Tests mithilfe von Wahrscheinlichkeiten, Sensitivität, Spezifität, Satz von Bayes, Konfidenzintervall, Prävalenz
• Zusatzmaterialien: Excel-Datei zur Überprüfung der Ergebnisse und Simulation neuer Konstellationen

athematik ist ein Schlüssel für das Verständnis der Welt und ihrer Entwicklung. In unserer durch Information gesteuerten Gesellschaft, deren Basis explosionsartig zunehmendes Wissen und dauernde Veränderungen sind, spielt die Mathematik eine entscheidende Rolle. Insbesondere im Bereich Stochastik liegt die Verknüpfung der Inhalte zum praktischen Leben auf der Hand.

• Klassenstufe/Lernjahr: 11/12 (G8), 11–13 (G9)
• Dauer: 2 Unterrichtsstunden, evtl. Hausaufgabe
• Kompetenzen:
  • 1. mathematische Texte erfassen
  • 2. Analyse und Anwendung der zutreffenden Formeln und Lösungsschritte
  • 3. Lösungen berechnen und Ergebnisse reflektieren
  • 4. Beweise führen
• Thematische Bereiche: Ereigniswahrscheinlichkeiten, Binomialverteilung, Vierfeldertafel

Die im Folgenden abgedruckten Tests können jeweils als Kopiervorlagen für Klassensätze verwendet werden. Dabei sollten die Tests zur 11. Klasse gegen Ende des Schuljahres, die in der 12. Klasse etwa in der Mitte des Schuljahres rechtzeitig vor der Abiturprüfung verlangt werden.

Bei den Wiederholungstest findet man zur 11. und zur 12. Klasse Tests nach „Multiple Choice Check“, d. h. eine, zwei, drei oder vier Antworten der vier Vorgegebenen treffen zu. Entsprechend differenziert wird man Bewertung und Bestehen des Tests vornehmen.

Seit geraumer Zeit ist das Testverfahren „MC = Multiple Choice“ für Prüfungen (z. B. beim Führerschein), Tests, Klausuren oder Umfragen als Fragetechnik bekannt, die aber fast ausschließlich Faktenwissen abfragen kann. Obwohl lediglich die angekreuzte Antwort bewertet wird, nicht aber ein möglicher Lösungsweg, bildet das Verfahren dennoch die Möglichkeit, das gelernte Wissen wiederzugeben (Reproduktion) und zu verarbeiten (Reorganisation) sowie dieses auf ähnliche Aufgaben zu übertragen (Transfer) bzw. Aufgaben mit neuen Aspekten zu lösen (problemlösendes Denken). Es handelt sich im Gegensatz zur freien Antwortfindung um eine erzwungene Wahl, da richtige Antworten aus den vorgegebenen auszusuchen sind. Die im Folgenden abgedruckten MC-Tests gehören zu den Themenbereichen.

• Ereignisraum und Wahrscheinlichkeit
• Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeit
• Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
• Urnenmodelle und Binomialverteilung
• Hypothesentests

Zu den Aufgaben sind jeweils vier Lösungsmöglichkeiten vorgegeben. Die Schwierigkeit liegt darin, dass 0 bis 4 Antworten richtig sein können.

In diesem Beitrag führen Ihre Schüler Multiple Choice-Tests zu den verschiedensten Themen aus der Stochastik durch, wie beispielsweise zum Ereignisraum oder zum Hypothesentest.

• Inhalt:
  • Ereignisraum und Wahrscheinlichkeit
  • Kombinatorik
  • Laplace
  • bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Urnenmodelle
  • Binomialverteilung
  • Hypothesentests
• Kompetenzen:
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

In diesem Beitrag entdecken Ihre Schüler den Unterschied zwischen der absoluten und der relativen Häufigkeit. Sie führen Zufallsexperimente mit Würfeln durch um diese zu bestimmen. Außerdem lernen Sie den Begriff der Wahrscheinlichkeit mit den entsprechenden Eigenschaften kennen und wenden das gelernte Wissen in abgestimmten Aufgaben an.

• Inhalt: heuristische Zugangsweise zu den Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
• Medien: Würfel, Münzen, Tetraeder, Oktaeder, Urne mit Kugeln, Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Die Schüler lernen: souverän mit stochastischen Grundbegriffen umzugehen.

Diese Silbenrätsel setzen Sie zu Beginn einer Unterrichtsstunde ein, um bei Ihren Schülern Neugier für das Thema „Stochastik“ zu wecken. Aber auch als Leistungskontrolle am Ende einer Unterrichtseinheit eignen sich die Materialien. Im Sinne einer Binnendifferenzierung geben Sie die Rätsel schnellen Schülern als Zusatzaufgabe. Bei Partnerarbeit können sich die Schüler gegenseitig unterstützen und gemeinsam falsche Antworten korrigieren.

Wie viel Prozent der Wähler werden sich bei der nächsten Bundestagswahl für die FDP entscheiden? Wie hoch wird die Wahlbeteiligung ausfallen? Solchen und ähnlichen Fragen können Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag statistisch auf den Grund gehen. Mit bekannten relativen Häufigkeiten aus Stichproben (etwa Umfragen) berechnen die Lernenden Konfidenzintervalle oder bestimmen bei bekannten Wahrscheinlichkeiten die zugehörigen Prognoseintervalle. Neben den genauen Formeln bietet dieser Betrag auch Näherungsformeln und Abschätzungen an, die auch ohne einen CAS-Rechner bestimmt werden können.

• Hinweise
• M 1 Sigma-Regeln der Binomialverteilung
• M 2 Prognoseintervalle
• M 3 Binomialverteilung näherungsweise anwenden
• M 4 Konfidenzintervalle – eine Einführung
• M 5 Eine Näherungsformel für Konfidenzintervalle
• M 6 Stichprobenumfang abschätzen
• M 7 Eine „Faustformel“
• M 8 Sind Sie fit? – Testen Sie Ihr Wissen!
• Lösungen

Die Schülerinnen und Schüler lernen den Begriff der Prognoseintervalle anzuwenden, um Konfidenzintervalle zu bestimmen, Konfidenzintervalle mithilfe eines CAS-Rechners zu berechnen und zu interpretieren, eine Näherungsformel für Konfidenzintervalle kennen, Stichprobenumfänge abzuschätzen, eine „Faustformel“ kennen, mit deren Hilfe Prognose- oder Konfidenzintervalle sowie Stichprobenumfänge abgeschätzt werden können.

Die abiturvorbereitende Unterrichtseinheit für die gymnasiale Oberstufe beschäftigt sich mit der Wiederholung von Kernthemen der Stochastik durch Fragestellungen zu Einheitswürfeln. Mit abwechslungsreichen Aufgabenstellungen und der Möglichkeit zur Differenzierung vertiefen die Lernenden den Umgang mit mehrstufigen Zufallsversuchen und Baumdiagrammen, die Binomialverteilung und den Erwartungswert sowie das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten.

• Klassenstufe: 11–13
• Dauer: 6 Unterrichtsstunden
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren, Probleme mathematisch lösen, kommunizieren
• Thematische Bereiche: Mehrstufige Zufallsversuche, Baumdiagramme, Binomialverteilung, bedingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Schätzen von Wahrscheinlichkeiten, Testen von Hypothesen
• Zusatzmaterial: GeoGebra-Datei

Viele Erscheinungen unserer Wirklichkeit lassen sich nicht rein kausal erklären, sondern sind auch vom Zufall bestimmt. Für ihre Beschreibung und Beurteilung stellen die Wahrscheinlichkeitsrechnung und die mathematische Statistik geeignete Modelle und Verfahren bereit.

In dieser Aufgabensammlung wird demonstriert, dass sich die Stochastik mühelos in Verbindung mit der Geometrie und der Analysis setzen lässt.

• Inhalt:* Zahlenebene, Gleichseitiges Dreieck, Berechnung von Flächeninhalten, Relative Wahrscheinlichkeit, Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit, Geraden und Ebenen, Exponentialfunktion, Prozentrechnen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen , Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Der abiturvorbereitende Oberstufenbeitrag handelt vom aktuellen Themenkomplex der Grippe und der Coronavirus-Erkrankung COVID-19. Mittels besonders motivierender Aufgabenstellungen vertiefen Ihre Schüler Kernthemen des Lehrplans wie die Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten, die Verwendung des Baumdiagramms, der Vierfeldertafel und das Testen von Hypothesen. Mit anwendungsorientierten Fragestellungen begeistern Sie Ihre Klasse für die weitreichenden Konzepte der Stochastik (absolut relevant für das Abitur!).

• Inhalt: Vierfeldertafel, Baumdiagramm und Ereigniswahrscheinlichkeiten; Bernoulli-Kette und Binomialverteilung; Testen von Hypothesen
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Das Gebäck „Russisch Brot“ bietet sich aufgrund des Inhalts für verschiedenste Fragestellungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung an. Da der Inhalt aus Buchstaben, Ziffern und Sonderzeichen besteht, können die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse sehr gut variiert werden. Viele Aufgaben sind so gestaltet, dass sie durch verschiedene Herangehensweisen und Lösungswegen bearbeitet werden können. Kompetenzprofil:

• Medien: GTR/CAS, GeoGebra, Excel
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Statistische Erhebungen spielen in Politik und Gesellschaft, in wissenschaftlichen Untersuchungen oder etwa in der Finanzwelt eine große Rolle. Viele Datensätze können dabei bereits mit verhältnismäßig einfachen Kenngrößen schnell charakterisiert und grafisch dargestellt werden. Mithilfe dieser Aufgabensammlung lässt sich die Anfertigung und Interpretation von Boxplots anhand anschaulicher Beispiele einüben. Mit der Lernerfolgskontrolle am Schluss lässt sich das erworbene Wissen eigenständig kontrollieren.

• Inhalt:* Minimum, Maximum, Mittelwert, Median, Quartile, Boxplots
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Diese alltagsnahe Aufgabensammlung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung für die gymnasialen Unterstufe handelt von ein- und mehrstufigen Zufallsexperimenten mit diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Mittels ansprechender Fragestellungen wird Ihrer Klasse die Bedeutung stochastischer Methoden vor Augen geführt ohne den historischen Kontext zu vernachlässigen. Nutzen Sie diesen Beitrag sowie die enthaltene Klassenarbeit zur Prüfungsvorbereitung Ihrer Schüler.

• Aufgabenteil
• Klassenarbeit zum Thema Laplace-Experimente
• Lösungsteil
• Lösungen zur Klassenarbeit

In der heutigen Welt ist die Statistik kaum mehr aus einem Bereich wegzudenken. Ob in der Wirtschaft, zum Beispiel bei Legebetrieben oder Industrieabfüllanlagen oder auch im Gesundheitswesen bei der Prognose von Geburtskennzahlen. Besonders die Normalverteilung, mit ihrem bekannten Graphen der sog. Gaußschen Glockenkurve, taucht dabei immer wieder auf. Die Schüler werden in diesem Beitrag sanft von der Binomialverteilung zur Normalverteilung geführt. Sie lernen in realitätsbezogenen Aufgaben die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Verteilungen kennen und üben den Umgang mit dem grafikfähigen Taschenrechner (GTR).

• Methodisch-didaktische Hinweise
• Theorie
• Aufgaben
• Lösungen

• Inhalt: Von der kumulierten Binomialverteilung zur Normalverteilung, diskrete und stetige Zufallsgrößen, Einfluss von Erwartungswert und Standardabweichung auf die Glockenkurve, Eigenschaften der Normalverteilung, Normalverteilungen im Kontext, Experimente mit Zufallszahlen.
• Medien: GTR.
• Kompetenzen: mathematisch argumentieren und beweisen, Probleme mathematisch lösen, mathematische Darstellungen verwenden, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen.

Aufgaben aus dem Sport motivieren viele Jugendliche. Da es sich hier um die Leistungen einer Athletin, nämlich Denise Herrmann, handelt, spricht der Beitrag auch Schülerinnen besonders stark an. Mit Binomialverteilungen ermitteln die Lernenden, welche Schießleistungen von einer Biathletin im Verlauf einer Wintersaison zu erwarten sind.

• Hinweise
• M 1 Zur Person von Denise Herrmann
• M 2 Aufgaben
• Lösungen

Mit diesem Beitrag erhalten Sie 14 realitätsnahe, spannende Klausuraufgaben rund um die Themen Baumdiagramme, Pfadregeln, Ereigniswahrscheinlichkeiten, Bernoulli-Ketten und binomialverteilte Zufallsgrößen. Für jede Leistungsstärke ist etwas dabei: gehen Sie differenziert vor und fördern Sie Ihre Schülerinnen und Schüler individuell.

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihr bereits erworbenes Wissen und ihre Fähigkeiten im Bereich der Themen Baumdiagramme mit deren Pfadregeln, Ereigniswahrscheinlichkeiten, Bernoulli-Ketten und binomialverteilte Zufallsgrößen anzuwenden. Lebensnahe Aufgaben fordern die Lernenden heraus, jeweils das passende mathematische Modell zu finden, um die Lösung bestimmen zu können.

• Inhalt: Baumdiagramme, Ergebnismenge, Ereignis und Ereigniswahrscheinlichkeiten, Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Erwartungswert
• Medien: GTR/CAS, Tabellenwerk
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), kommunizieren (K6)

"Zwei Personen in der Klasse haben am gleichen Tag Geburtstag? Glaub ich nicht, das kommt doch bestimmt fast nie vor! Und wie viele Möglichkeiten gibt es gleich nochmal, wenn ich drei Gäste auf sechs Zimmer verteile?“

Mit vielen einfallsreichen Fragen und Begebenheiten entführt dieser Beitrag Ihre Klasse in das Reich der Kombinatorik und der Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Stärken Sie mit den Aufgaben das Textverständnis und die Modellierungskompetenz Ihrer Schülerinnen und Schüler und überraschen Sie sie mit unerwarteten Ergebnissen.

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihr Wissen und Können rund um das Thema Kombinatorik und Laplace-Wahrscheinlichkeiten an realitätsnahen Aufgaben einzusetzen. Die Aufgaben fördern besonders die Kompetenzen „mathematisch Modellieren“ und Textverständnis, da die Jugendlichen zu den Textaufgaben zunächst das bzw. die passenden Urnenmodelle finden müssen.

• Inhalt: Kombinatorik und Ereigniswahrscheinlichkeiten
• Medien: GTR/CAS
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), kommunizieren (K6)

Ob beim Drehen des Glücksrads, beim Kartenspiel oder Münzwurf – zum Gewinnen gehört oft eine ordentliche Portion Glück dazu. Wie viel genau, berechnen Ihre Schülerinnen und Schüler in abwechslungsreichen Aufgaben mit den Werkzeugen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik. Damit stärken Sie besonders das Wissen und Können rund um das Thema Binomialkoeffizienten und Binomialverteilung.

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihre Kompetenzen in den Themengebieten Bernoulli-Kette, Binomialkoeffizient und -verteilung sowie Hypothesentest anhand von komplexeren Textaufgaben unter Beweis zu stellen. Die Aufgaben des Beitrags fokussieren sich dabei insbesondere auf die Anwendung des Binomialkoeffizienten sowie der Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeitsberechnung von Ereignissen.

Wie wahrscheinlich ist es, dass Herr Fischer schon beim ersten Schuss eine Rose für seine Frau schießt? Bei wie vielen Gewinnlosen hat die Losverkäuferin recht und wie oft stoßen die Gäste von Klack und Kluck miteinander an? Auf dem Volksfest tun sich so einige Fragen auf, die die Lernenden mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung beantworten. Neben kombinatorischen Fähigkeiten und bedingten Wahrscheinlichkeiten wenden die Jugendlichen auch ihr Wissen zum Thema Bernoulli-Ketten an.

Die Schülerinnen und Schüler lernen ihre Fertigkeiten und ihr Wissen in zahlreichen realitätsnahen Aufgaben anzuwenden. Sie durchdenken komplexe Anordnungs- und Durchführmöglichkeiten mit Zurückführungen auf Urnenmodelle, berechnen bedingte und Laplace-Wahrscheinlichkeiten und betrachten Bernoulli-Ketten sowie Zufallsgrößen.

• Inhalt: Kombinatorik, Ereigniswahrscheinlichkeiten, Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Zufallsgröße, Bernoulli-Ketten
• Medien: GTR/CAS
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), kommunizieren (K6)

Kann der Arzt gesundheitlich für ein Forschungsprojekt/einen Posten ungeeignete Personen besser erkennen als geeignete? Wie viel Chancen haben Bewerbende, die beim Wissenstest nur raten? Diese und ähnliche Fragen beantworten die Lernenden in diesem Beitrag, indem sie ihr Wissen und Können um die Themen Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeiten und Binomialverteilung geschickt einsetzen.

Die Schülerinnen und Schüler lernen aus komplexeren Textaufgaben wichtige Informationen zu entnehmen, ein passendes mathematisches Modell zu finden und mathematische Argumentationsketten zu führen. Mit den Aufgaben des Beitrags fördern Sie insbesondere das Textverständnis und die Auffassungsgabe Ihrer Schülerinnen und Schüler.

• Inhalt: Ereignisse und Ereigniswahrscheinlichkeiten, Baumdiagramm, Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit, stochastische Unabhängigkeit, Bernoulli-Kette, hypergeometrische Verteilung, Hypothe-sentest
• Medien: GTR/CAS, Tafelwerk
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen (K1), Probleme mathematisch lösen (K2), mathematisch modellieren (K3), mathematische Darstellungen verwenden (K4), mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5), kommunizieren (K6)

In diesem Beitrag entdecken Ihre Schüler den Unterschied zwischen der absoluten und der relativen Häufigkeit. Sie führen Zufallsexperimente mit Würfeln durch um diese zu bestimmen. Außerdem lernen Sie den Begriff der Wahrscheinlichkeit mit den entsprechenden Eigenschaften kennen und wenden das gelernte Wissen in abgestimmten Aufgaben an.

• Inhalt: heuristische Zugangsweise zu den Begriffen relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
• Medien: Würfel, Münzen, Tetraeder, Oktaeder, Urne mit Kugeln, Taschenrechner
• Kompetenzen:
  • mathematisch argumentieren und beweisen
  • Probleme mathematisch lösen
  • mathematisch modellieren
  • mathematische Darstellungen verwenden
  • mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
  • mathematisch kommunizieren

Die Ziehung von farbigen oder mit Ziffern beschrifteten Kugeln aus Urnen ist ein Zufallsexperiment, das sehr oft im Stochastik-Unterricht Anwendung findet. Hierbei werden zumeist aus einer Urne Kugeln mit oder ohne Zurücklegen gezogen und die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis bestimmt. Was aber passiert, wenn sich der Inhalt der Urnen wie beim Ziehen ohne Zurücklegen nicht verringert, sondern durch Hinzufügen von einzelnen oder sogar beliebig vielen Kugeln vergrößert wird? Neben den „üblichen“ Aufgaben bei Zufallsexperimenten mit Kugeln wird dies unter anderem mit den Methoden der Analysis im Beitrag untersucht. Zudem können die Lernenden eine dieser Ziehungen mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms simulieren.

Die Schülerinnen und Schüler lernen: die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in mehrstufigen Zufallsexperimenten in komplexeren Aufgaben einzusetzen. Bevor sie die Pfadregeln anwenden, müssen sie die Wahrscheinlichkeiten am Baum bestimmen, da sich der Inhalt der Urnen vergrößert. Bei den vergrößerten Urneninhalten stellen die Jugendlichen Wahrscheinlichkeitsfolgen auf und untersuchen mit den Methoden der Analysis die Monotonie sowie das Grenzwertverhalten.

Die Corona-Pandemie belastet den Alltag und auch den Unterricht stark. Aber gerade in diesem Zusammenhang wird in der Öffentlichkeit so viel von Wahrscheinlichkeiten gesprochen wie selten. In diesem Beitrag beschäftigen sich Ihre Schülerinnen und Schüler mit einigen Missverständnissen und fehlenden Informationen im Zusammenhang mit COVID-19-Schnelltests und Wahrscheinlichkeiten.

• Hinweise
• M 1 Einführung und Beispiel
• M 2 Verallgemeinerung
• M 3 Altersabhängige Aussagekraft
• M 4 Positiver Schnelltest – und jetzt?
• M 5 Sensitivität und Spezifität: Werte laut Gebrauchsanweisung und evaluierte Werte des Paul-Ehrlich-Instituts (PEI)
• M 6 „Probleme mit der Statistik bei positiven Schnelltests“
• M 7 Aussagekraft bei Geimpften und Ungeimpften
• Lösungen

Bei der Produktion von Massenartikeln kann so einiges schiefgehen. Anhand zahlreicher spannender Aufgaben aus der Realität lernen die Jugendlichen, dass Statistik aus Produktionsprozessen nicht mehr wegzudenken ist. Die Lernenden entscheiden geschickt zwischen hypergeometrischen und binomialverteilten Zufallsvariablen, berechnen be-dingte Wahrscheinlichkeiten und führen Hypothesentests durch.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

anhand der Aufgaben des Beitrags, ihre Fähigkeiten in den Bereichen bedingte Wahrscheinlichkeiten, hypergeometrische Verteilung, Binomialverteilung und Hypothesentests geschickt einzusetzen. Die Textaufgaben fördern insbesondere die Kompetenz, Fragestellungen in sinnvolle mathematische Modelle zu überführen. So müssen die Jugendlichen z. B. entscheiden, ob eine Zufallsvariable als hypergeometrisch oder als binomialverteilt angesehen werden sollte. Einige Teilaufgaben verlangen Begründungen oder sind allgemeine Verständnisfragen. Dies fördert insbesondere das Grundverständnis und erleichtert den Lernenden zukünftig das mathematische Argumentieren.

Urnenmodelle, Lose und Lotterien – welche Ereignisse können mit welcher Wahrscheinlichkeit eintreten? Die Jugendlichen zeichnen zur Lösungsfindung Baumdiagramme zu komplexeren Zufallsexperimenten, bestimmen Ereigniswahrscheinlichkeiten mithilfe der Pfadregeln, Bernoulli-Ketten oder der Binomialverteilung und wenden die Gesetze der Mengenalgebra an. Innerhalb des Beitrags wird Ihnen dabei gezielt angeboten, Lernstärkere oder interessierte Jugendliche zu fördern oder auch die Mengenalgebra im Unterricht zu vertiefen.

Die Schüler und Schülerinnen lernen:

u. a. Sachaufgaben in Urnenmodelle zu übertragen, passende Baumdiagramme zu zeichnen, Ereigniswahrscheinlichkeiten zu bestimmen und Gesetze der Mengenalgebra anzuwenden. Die Aufgaben fördern insbesondere die Kompetenzen „mathematisch Modellieren“ und „Probleme mathematisch lösen“, da die Jugendlichen erkennen müssen, welches Modell am besten zur Lösung passt bzw. zu einer einfachen Gestaltung der Lösung beiträgt.

Wann ist damit zu rechnen, dass der Brutofen für die Hühnereier ausfällt, wie viele unbefruchtete Eier sind vermutlich dabei und wie gefährlich lebt eigentlich ein Tierarzt? Diese und weitere Fragen beantworten Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag mit den Werkzeugen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Sie berechnen Ereigniswahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten, lösen Problemstellungen mit Bernoulli-Ketten und der Binomialverteilung und testen Hypothesen auf verschiedenen Signifikanzniveaus.

Die Schüler und Schülerinnen lernen:

in realitätsnahen Aufgaben ihre Fähigkeiten in den Lernbereichen Ereigniswahrscheinlichkeiten (Baumdiagramme, Pfadregeln, Vierfeldertafel), bedingte Wahrscheinlichkeiten, Bernoulli-Ketten, Binomialverteilung und Hypothesentests anzuwenden. Die Aufgaben erfordern ein hohes Maß an Textverständnis und fördern insbesondere die Kompetenz „mathematisch modellieren“, da die Problemstellungen in mathematische Modelle überführt werden müssen.

Ob Urlaub in der Heimat oder in fernen Oasen – Risiken gibt es immer. Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik lassen sie sich zwar nicht immer vermeiden, aber immerhin besser einschätzen. In diesem Beitrag beschäftigen sich die Jugendlichen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten, der Binomialverteilung und dem Testen von Hypothesen.

Die Schüler und Schülerinnen lernen:

anhand von realitätsnahen Beispielen ihre Fähigkeiten bezüglich der bedingten Wahrscheinlichkeiten, Binomialverteilung und Hypothesentests anzuwenden. Die Aufgaben fördern insbesondere Textverständnis und eigenständiges Modellieren der Sachverhalte durch mathematische Strukturen.

In der Unterrichtseinheit werden Zahlen eines fairen Dodekaeders benutzt, um Ereignismengen zu bestimmen und Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln. Auf die Ereignismengen wenden die Jugendlichen bestimmte Mengenoperationen an, die sich auch bei der Berechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten wiederfinden. Mithilfe eines zweifachen Dodekaederwurfs spielen die Lernenden „Bingo“. Dabei werden unter Benutzung von Baumdiagrammen und Übergangsmatrizen die Wahrscheinlichkeiten, Ereignisse und Ergebnisse dieses Spiels untersucht. Derartige und weitere vielfältigere Aufgaben schulen den intuitiven Umgang der Lernenden mit den Begriffen der Stochastik.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

die Mengenoperationen (Komplementär-, Vereinigungs- und Schnittmenge) auf vorher bestimmte Ereignismengen anzuwenden und diese zur Berechnung von bestimmten Wahrscheinlichkeiten zu nutzen. Ebenso verwenden sie die Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in zwei- bzw. mehrstufigen Zufallsexperimenten bei einem Spiel. Wird die Anzahl der Versuche beim Spiel größer, so führen die Lernenden die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mithilfe einer Übergangsmatrix durch. Vergrößert sich die Anzahl der Laplace-Zufallsexperimente, so setzen die Jugendlichen die Formel von Bernoulli ein. Ebenso überprüfen sie bei einem Laplace-Zufallsexperiment, ob ein durchgeführtes Spiel fair ist.

Drei Türen, zwei Ziegen und ein Auto. Das bekannte Ziegenproblem lässt Köpfe rauchen und wilde Diskussionen entfachen. Die Aufgaben des Beitrags fordern die Lernenden heraus. Sie sollen dabei um die Ecke denken und strikt mathematisch argumentieren. Besonders spannend wird es, wenn Verallgemeinerungen des Problems betrachtet werden.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

ihre Fähigkeiten in den Bereichen logisches Denken, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten anhand von komplexen Fragestellungen anzuwenden. Die Aufgaben fördern besonders die Kompetenzen: „Probleme mathematisch lösen“ und: „mathematisch modellieren“, da die Lösungsstrukturen nicht offensichtlich sind, sondern von den Lernenden Schritt für Schritt entwickelt werden müssen. Ebenso festigen die Jugendlichen das strikte, logisch-orientierte mathematische Argumentieren.

• Inhalt: Schwierige Laplace-Wahrscheinlichkeiten, Kombinatorik, Baumdiagramme, Ereigniswahrscheinlichkeiten, bedingte Wahrscheinlichkeiten
• Medien: TR
• Kompetenzen: Mathematisch argumentieren und beweisen , Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren

In der Unterrichtseinheit dreht sich alles um das Thema Urnen. Die Jugendlichen lernen, welchen Einfluss das Zurücklegen der Kugeln oder das gleichzeitige Ziehen auf Wahrscheinlichkeiten hat. Der Beitrag bietet auf allen Niveaustufen einfache bis komplexe Aufgaben aus den Themenbereichen Kombinatorik, Ereigniswahrscheinlichkeiten, Zufallsvariablen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung, sodass ein leistungsgerechtes und motivierendes Lernen ermöglicht wird.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

zwischen den Urnenmodellen mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Reihenfolge zu unterscheiden. Sie wenden einfache bis komplexe kombinatorische Überlegungen, bedingte Wahrscheinlichkeiten, die Binomialverteilung bzw. den Binomialkoeffizienten und Baumdiagramme mit den Pfadregeln zur Bestimmung von Ereigniswahrscheinlichkeiten an. Die Jugendlichen modellieren Zufallsvariablen und berechnen deren Erwartungswert sowie Varianz und Standardabweichung.

• Inhalt: Kombinatorik, Ereigniswahrscheinlichkeiten, Baumdiagramme, Pfadregeln, bedinge Wahrscheinlichkeiten, Zufallsvariablen, Binomialverteilung, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung
• Medien: TR
• Kompetenzen: Probleme mathematisch lösen, mathematisch modellieren, mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

elche Rolle spielt Glück eigentlich im Fußball? Dieser Frage gehen Ihre Schülerinnen und Schüler im vorliegenden Beitrag unter Einbeziehung von Wahrscheinlichkeitsrechnung nach. In dieser Einheit wenden die Lernenden kombinatorische Überlegungen, die Binomialverteilung und die Annäherung an die Normalverteilung an und bessern gleichzeitig ihre Fußballkenntnisse auf.

Die Schülerinnen und Schüler lernen:

die Binomialverteilung in realitätsnahen Aufgabenstellungen zur Modellierung zu benutzen und damit die Lösung der Aufgaben zu berechnen. Sie verwenden dafür je nach Verteilung den Taschenrechner, das Tabellenwerk oder auch die Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung. Die Aufgaben fördern zudem interdisziplinäre Kompetenzen bezogen auf das Fach Sport durch den Fußballkontext.

Die Binomialverteilung versteckt sich in verschiedenen Vorgängen unserer Umwelt, wie etwa bei der Blütenbestäubung. In diesem Beitrag lernen Ihre Schülerinnen und Schüler, realitätsnahe Problemstellungen mit der Binomialverteilung zu modellieren und zu lösen. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben festigen die Lernenden ihre Kenntnisse im stochastischen Bereich und sind in der Lage, alltäglichen Situationen eine konkrete Wahrscheinlichkeit zuzuordnen.

Das Ziehen von Kugeln aus Urnen zählt zu den oft benutzten Zufallsexperimenten im Stochastikunterricht. Neben den Standardaufgaben der Ziehung mit und ohne Zurücklegen untersuchen die Jugendlichen in diesem Beitrag, was passiert, wenn mehrere Kugeln gezogen werden und der Urneninhalt, abhängig von den gezogenen Kugeln, verändert wird. Dadurch ergeben sich neue spannende Problemstellungen im Bereich der stochastischen Prozesse

Rechenmauern kennen Ihre Schülerinnen und Schüler seit der Grundschulzeit. Im vorliegenden Beitrag wird eine Reihe von drei Rechenmauern mithilfe eines Tetraeders und eines Würfels bestimmt.

Mit den Zahlen der Reihe werden dann bestimmte Ereignisse festgelegt. Die Lernenden bestimmen hierzu (bedingte) Wahrscheinlichkeiten durch das Zeichnen von Baumdiagrammen oder mithilfe einer Tabelle bzw. durch Anwenden der Binomialverteilung. Ebenso überprüfen sie bei zwei Spielen, welches Spiel für sie günstiger ist.

• Hinweise
• Übersicht Rechenmauern
• Aufgaben
• Lösungen

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Auf wie viele Arten lässt sich eine Gruppe von Männern und Frauen an einem Tisch platzieren? Wie viele Möglichkeiten gibt es, einen Kuchen mit Marzipanherzen zu garnieren? Mit welcher Wahrscheinlichkeit lassen sich Volksfestspiele gewinnen?
In anschaulichen Beispielen, die den Lernenden dabei helfen, einen Bezug zwischen mathematischen Ideen und der Realität herzustellen, lösen die Lernenden Aufgaben aus dem Bereich der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Inhaltsverzeichnis:

• Männer und Frauen – Kombinatorik
• Ausflug zum Volksfest – Kombinatorik und Wahrscheinlichkeiten
• Lösungen

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