Frage:
Welche Arten von Geraden gibt es?(Klassifizierung von Geraden)
1. Parallele und identische Geraden
Behauptung: Folgende Geraden sind parallel und identisch:
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Gerade](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5c.jpg)
Woran erkenne ich nun, ob zwei Geraden parallel sind?
Antwort:
Haben zwei Geraden denselben Richtungsvektor, so sind diese parallel.
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Gerade](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5d.jpg)
Nun ist aber noch zu klären, ob die Gerade g:x zu der Geraden h:x
parallel und verschieden (echt parallel) ist oder identisch.
Es gilt:
Liegt der Stützvektor der einen Gerade auf der parallelen Gerade, so
sind die Geraden parallel und zugleich identisch.
Um dies herauszufinden, ist eine Punktprobe notwendig.
PUNKTPROBE BEI EINER GERADEN:
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5e.jpg)
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Punktprobe einer Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5f.jpg)
Da es ein ´r´gibt, dass alle 3 Gleichungen erfüllt, können wir davon ausgehen,
dass der Stützvektor der Geraden h:x auf der Geraden g:x liegt.
Folglich sind die beiden Geraden parallel und identisch.
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5a.jpg)
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5b.jpg)
Parallel sind die Geraden aber auch, wenn der Richtungsvektor der einen Gerade ein
Vielfaches des Richtungsvektors der anderen Gerade ist.
Bsp. 1)
Punktprobe erfüllt, Richtungsvektor der Geraden g:x
Vielfaches des Richtungsvektors von m:x
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5h.jpg)
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5g.jpg)
Bsp. 2)
Gleicher Stützvektor, Richtungsvektoren Vielfache voneinander
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5i.jpg)
![Analytische Geometrie und lineare Algebra: Parallele und identische Geraden](images/Analytische-Geometrie-und-lineare-Algebra/Geraden-im-Koordinatensystem/Gerade-5j.jpg)
Wir sehen, dass wenn der Richtungsvektor der einen Geraden ein Vielfaches
der anderen ist, die beiden Geraden parallel sind.
Zusammenfassend liegt eine
parallele und identische Gerade vor, wenn :
![Mathematik Abitur Lernhilfen. (Oberstufe)](../Bilder-u-Grafiken/Pfeil.gif) |
der Stützvektor der einen Gerade auf der zweiten Gerade liegt (Punktprobe) und die Richtungsvektoren identisch sind. |
![Mathematik Abitur Lernhilfen. (Oberstufe)](../Bilder-u-Grafiken/Pfeil.gif) |
der Stützvektor der einen Gerade auf der zweiten Gerade liegt (Punktprobe) und die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
(s. oben Bsp. 1 und Bsp. 2) |
s. auch:
-> Parametergleichungen von Geraden aufstellen, Geradenpunkte ermitteln
-> Vektorielle Darstellung von Geraden im dreidimensionalen Raum
-> Punktproben im 3-dimenionalen Raum
-> Ebenen darstellen aus zwei Geraden
Mathe
Abi Lernhilfen:
(thematisch sortiert ...)
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